Abitur NRW Mathematik 2019 · LK · Teil A · Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $f \colon x \mapsto 1 - \frac{1}{x^2}$, die die Nullstellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 1$ hat. Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$, der symmetrisch bezüglich der $y$-Achse ist. Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = -3$ gegeben.

a

Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die x-Koordinate $\frac{1}{2}$ hat.

[1 BE]

b

Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$, die x-Achse und die Gerade $g$ einschließen.

[4 BE]

Gegeben ist die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $f \colon x \mapsto 1 - \frac{1}{x^2}$, die die Nullstellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 1$ hat. Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$, der symmetrisch bezüglich der $y$-Achse ist. Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = -3$ gegeben.

Der abgebildete Graph $G_f$ stellt eine Funktion $f$ dar.

a

Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f$. Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen. [3 BE]

b

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$. Geben Sie das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1; 3]$ an. Begründen Sie Ihre Angabe. [2 BE]

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_g$ einer in $\mathbb{R}$ definierten, differenzierbaren Funktion $g$.

Betrachtet wird eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$, für deren erste Ableitungsfunktion $f'(x) = e^{g(x)}$ gilt.

a

Untersuchen Sie, ob der Graph von $f$ einen Extrempunkt hat. [2 BE]

b

Untersuchen Sie, ob der Graph von $f$ einen Wendepunkt hat. [3 BE]