Exercice 2 - Dérivation et variations · Bac Mathématiques Métropole 2021 (sujet 1)

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par: $$f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x}$$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

2.

Montrer que, pour tout nombre réel $x \in ]0; +\infty[$, on a: $$f'(x) = \frac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2}$$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.

3.

Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

Valeur de $x$ annulant $f'(x)$:

Valeur du minimum $f(1)$:

4.

Soit $m$ un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$.

Si $m < \text{e}$:

solution(s)

Si $m = \text{e}$:

solution(s)

Si $m > \text{e}$:

solution(s)

5. a.

On note $\Delta$ la droite d'équation $y = -x$. On note $A$ un éventuel point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à $\Delta$. Montrer que $a$ est solution de l'équation $\text{e}^x(x - 1) + x^2 = 0$.

5. b.

On note $g(x) = \text{e}^x(x - 1) + x^2$ sur $[0; +\infty[$. Calculer $g'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $g$.

$g'(x) =$

5. c.

Montrer qu'il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.