Exercice 3 - Parties A et C · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2022

Exercice 3 (7 points)

Thèmes: fonction logarithme, suites

Les parties B et C sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x - x \ln x$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

1.

Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0.

2.

Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

a.

Démontrer que, pour tout réel $x > 0$, on a: $f'(x) = -\ln x$.

b.

En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$ et dresser son tableau de variation.

4.

Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur $]0; +\infty[$.

Partie C

Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0; +\infty[$ par:

$$f_k(x) = kx - x \ln x$$

1.

Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k = e^{k-1}$.

2.

Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a: $x_k = y_k$.