Exercice A · Bac Mathématiques Métropole Candidat libre 2021 (sujet 2)

Exercice A

Principaux domaines abordés:

Fonction logarithme; dérivation.

Partie I

On désigne par $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0; +∞[$ par: $$h(x) = 1 + \frac{\ln(x)}{x^2}$$ On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]0; +∞[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.

1.

Déterminez les limites de $h$ en $0$ et en $+∞$.

2.

Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0; +∞[$, $h'(x) = \frac{1-2\ln(x)}{x^3}$.

3.

En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0; +∞[$.

4.

Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $]0; +∞[$ et vérifier que: $\frac{1}{2} < \alpha < 1$.

5.

Déterminer le signe de $h(x)$ pour $x$ appartenant à $]0; +∞[$.

Partie II

On désigne par $f_1$ et $f_2$ les fonctions définies sur $]0; +∞[$ par: $$f_1(x) = x - 1 - \frac{\ln(x)}{x^2} \quad \text{et} \quad f_2(x) = x - 2 - \frac{2\ln(x)}{x^2}$$ On note $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ les représentations graphiques respectives de $f_1$ et $f_2$ dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$.

1.

Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0; +∞[$, on a: $$f_1(x) - f_2(x) = h(x)$$

2.

Déduire des résultats de la Partie I la position relative des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$. On justifiera que leur unique point d'intersection a pour coordonnées $(\alpha; \alpha)$.

On rappelle que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $h(x) = 0$.