Exercice 2 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2023

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x) = (2 - \ln x) \times \ln x$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $\mathcal{C}'$ la courbe représentative de la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$.

La courbe $\mathcal{C}'$ est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale $(T)$.

1.

Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner:

a.

b.

4.

a.

Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $]0; +\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$.

b.

En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.

5.

On note $f''$ la dérivée seconde de $f$ et on admet que pour tout réel $x$ appartenant à $]0; +\infty[$,

$$f''(x) = \frac{2(\ln x - 2)}{x^2}$$

Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser les coordonnées du point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.