Exercice 3 · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2021

Exercice 3 (6 points)

Commun à tous les candidats

Partie I

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - \mathrm{e}^{-2x}$.

On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$.

1.

Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) =$

$\lim_{x \to +\infty} f(x) =$

2.

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variation.

3.

Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

4.

Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.

Partie II

Dans le repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath})$, on appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$g(x) = \mathrm{e}^{-x}.$$

Les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ (qui représente la fonction $f$ de la Partie I) sont tracées sur le graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.

Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe $\mathcal{C}$ le plus proche de l'origine $O$ du repère et d'étudier la tangente à $\mathcal{C}$ en ce point.

1.

Pour tout nombre réel $t$, on note $M$ le point de coordonnées $(t; \mathrm{e}^{-t})$ de la courbe $\mathcal{C}$.

On considère la fonction $h$ qui, au nombre réel $t$, associe la distance $OM$.

On a donc: $h(t) = OM$, c'est-à-dire: $$h(t) = \sqrt{t^2 + \mathrm{e}^{-2t}}.$$

a.

Montrer que, pour tout nombre réel $t$,

$$h'(t) = \frac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \mathrm{e}^{-2t}}},$$

où $f$ désigne la fonction étudiée dans la Partie I.

b.

Démontrer que le point $A$ de coordonnées $(\alpha; \mathrm{e}^{-\alpha})$ est le point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la longueur $OM$ est minimale. Placer ce point sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.

2.

On appelle $T$ la tangente en $A$ à la courbe $\mathcal{C}$.

a.

Exprimer en fonction de $\alpha$ le coefficient directeur de la tangente $T$.

b.

On rappelle que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal à $\frac{\mathrm{e}^{-\alpha}}{\alpha}$.

On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration:

Dans un repère orthonormé du plan, deux droites $D$ et $D'$ de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m'$ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit $mm'$ est égal à $-1$.

Démontrer que la droite $(OA)$ et la tangente $T$ sont perpendiculaires. Tracer ces droites sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.

Annexe à compléter et à rendre avec la copie