Exercice 4 - Fonctions et dérivation · Bac Mathématiques Métropole 2022 (sujet 2)

Exercice 4 (7 points)

Thèmes: fonctions numériques, fonction exponentielle

Partie A: études de deux fonctions

On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par:

$$f(x) = 0{,}06(-x^2 + 13{,}7x) \quad \text{et} \quad g(x) = (-0{,}15x + 2{,}2)\mathrm{e}^{0{,}2x} - 2{,}2$$On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables et on note $f'$ et $g'$ leurs fonctions dérivées respectives.

1.

On donne le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$:

a.

Justifier la limite de $f$ en $+\infty$.

b.

Justifier les variations de la fonction $f$.

c.

Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $[0; +\infty[$. Donner les solutions (séparées par une virgule ou 'et'):

2.

a.

Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.

b.

Démontrer que, pour tout réel $x \in [0; +\infty[$, on a: $g'(x) = (-0{,}03x + 0{,}29)\mathrm{e}^{0{,}2x}$.

c.

Étudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations sur $[0; +\infty[$. Préciser une valeur approchée à $10^{-2}$ près du maximum de $g$.

d.

Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution non nulle et déterminer, à $10^{-2}$ près, une valeur approchée de cette solution.

Partie B: trajectoires d'une balle de golf

Pour frapper la balle, un joueur de golf utilise un club de golf. On souhaite exploiter les fonctions $f$ et $g$ étudiées en Partie A pour modéliser de deux façons différentes la trajectoire d'une balle de golf sur un terrain parfaitement plat. On admettra ici que $13{,}7$ est la valeur qui annule la fonction $f$ et une approximation de la valeur qui annule la fonction $g$.

Pour $x$ représentant la distance horizontale en dizaine de yards après la frappe ($0 \le x \le 13{,}7$), $f(x)$ (ou $g(x)$) représente la hauteur correspondante de la balle par rapport au sol, en dizaine de yards ($1\text{ yard} \approx 0{,}914\text{ m}$).

On appelle « angle de décollage » $d$ l'angle tel que $\tan(d) = \text{coefficient directeur de la tangente en } x=0$.

On appelle « angle d'atterrissage » $a$ l'angle tel que $\tan(a) = -\text{coefficient directeur de la tangente en } x=13{,}7$.

1. Première modélisation (fonction $f$):

a.

Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?

yard

b.

Vérifier que $f'(0) = 0{,}822$.

c.

Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième (utiliser éventuellement le tableau).

°

d.

Quelle propriété graphique de la courbe $\mathcal{C}_f$ permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux ?

2. Seconde modélisation (fonction $g$):

a.

Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle au cours de sa trajectoire ?

yard

On précise que $g'(0) = 0{,}29$ et $g'(13{,}7) \approx -1{,}87$.

b.

Donner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle, arrondie au dixième.

°

c.

Justifier que $62$ est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage.

Tableau: extrait d'une feuille de calcul donnant la mesure en degré d'un angle selon sa tangente:

$\tan(\theta)$ · 0,815 · 0,816 · 0,817 · 0,818 · 0,819 · 0,82 · 0,821 · 0,822 · 0,823 · 0,824 · 0,825 · 0,826

$\theta$ (degrés) · 39,18 · 39,21 · 39,25 · 39,28 · 39,32 · 39,35 · 39,39 · 39,42 · 39,45 · 39,49 · 39,52 · 39,56

$\tan(\theta)$ · 0,285 · 0,286 · 0,287 · 0,288 · 0,289 · 0,29 · 0,291 · 0,292 · 0,293 · 0,294 · 0,295 · 0,296

$\theta$ (degrés) · 15,91 · 15,96 · 16,01 · 16,07 · 16,12 · 16,17 · 16,23 · 16,28 · 16,33 · 16,38 · 16,44 · 16,49

Partie C: interrogation des modèles

À partir d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels, on a obtenu les résultats moyens suivants:

Angle de décollage en degré · Hauteur maximale en yard · Angle d'atterrissage en degré · Distance horizontale en yard au point de chute

24 · 32 · 52 · 137

Quel modèle, parmi les deux étudiés précédemment, semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel ? Justifier.