Exercice 2 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 1)

Exercice 2

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\;\ +\infty[$. On admet qu'elle est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\;\ +\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous:

la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, sur l'intervalle $]0\;\ 3]$;

la droite $T_A$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(1\;\ 2)$;

la droite $T_B$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B(\mathrm{e}\;\ \mathrm{e})$.

On précise par ailleurs que la tangente $T_A$ passe par le point $C(3\;\ 0)$.

Partie A: Lectures graphiques

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.

1.

Déterminer le nombre dérivé $f'(1)$.

2.

Combien de solutions l'équation $f'(x) = 0$ admet-elle dans l'intervalle $]0\,;\,3]$ ?

3.

Quel est le signe de $f''(0{,}2)$ ?

Partie B: Étude de la fonction $f$

On admet que pour tout $x$ appartenant à $]0\,;\,+\infty[$, $f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1$.

3. a.

Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0\,;\,+\infty[$, $f''(x) = \dfrac{1}{x}(4\ln x + 1)$.

3. b.

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion.

3. c.

Montrer que la courbe $C_f$ est au-dessus de la tangente $T_B$ sur l'intervalle $[1\,;\,+\infty[$.