Exercice au choix - Exercice B · Bac Mathématiques Métropole 2021 (sujet 1)

Exercice B

Principaux domaines abordés: Fonction logarithme; convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par:

$$f(x) = x + 4 - 4\ln(x) - \dfrac{3}{x}$$

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

1.

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

2.

On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Démontrer que, pour tout nombre réel $x>0$, on a:

$$f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}$$

3a.

Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. On admettra que $\lim_{x\to 0} f(x) = -\infty$.

3b.

Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \dfrac{5}{3}$.

4.

Étudier la convexité de la fonction $f$, c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle $]0;+\infty[$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave. On justifiera que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.