Exercice 3 - Questions 3 et 4 · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 2)

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Métropole France 2 (2025)

Énoncé

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

3.

On considère la fonction ff définie sur ]0;+∞[]0; +\infty[ dont la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (Fig. 1) ci-dessous. On précise que:

TT est la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point AA d'abscisse 8;

L'axe des abscisses est la tangente horizontale à Cf\mathcal{C}_f au point d'abscisse 1.

Affirmation 3: D'après le graphique, la fonction ff est convexe sur son ensemble de définition.

Affirmation 3:

4.

Affirmation 4: Pour tout réel x>0x > 0, ln⁡(x)−x+1≤0\ln(x) - x + 1 \le 0, où ln⁡\ln désigne la fonction logarithme népérien.

Affirmation 4:

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

3. Affirmation 3 : D'après le graphique, la fonction f est convexe sur son ensemble de définition.

Réponse : Fausse

Justification de l'affirmation 3

Réponse : Au voisinage de 8, la tangente TT est située au-dessus de la courbe Cf\mathcal{C}_f, donc ff n'est pas convexe sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[.

4. Affirmation 4 : Pour tout réel x > 0, ln(x) - x + 1 ≤ 0, où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 4

Réponse : La fonction ln⁡\ln est concave sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[ car sa dérivée seconde x↦−1x2x \mapsto -\frac{1}{x^2} est négative. Sa courbe est donc située au-dessous de sa tangente en 1 d'équation y=x−1y = x - 1, d'où ln⁡(x)≤x−1\ln(x) \le x - 1, soit ln⁡(x)−x+1≤0\ln(x) - x + 1 \le 0.

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