Exercice B · Bac Mathématiques Métropole Candidat libre 2021 (sujet 2)

Partie I - 1. Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$

Réponse : $f$ est croissante sur $]-\infty ; -1]$ et décroissante sur $[-1 ; +\infty[$

Partie I - 2. La convexité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$

Réponse : $f$ est concave sur $]-\infty ; 0]$ et convexe sur $[0 ; +\infty[$

Partie II - 1. Limite de $f$ en $+\infty$

Réponse : $0$

Partie II - 1. Asymptote à la courbe $\mathcal{C}$

Réponse : $y = 0$

Partie II - 1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^x} + 2\mathrm{e}^{-x}$

Réponse : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\frac{x}{\mathrm{e}^x} + 2\mathrm{e}^{-x} = x\mathrm{e}^{-x} + 2\mathrm{e}^{-x} = (x+2)\mathrm{e}^{-x} = f(x)$

Partie II - 2.a. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x) = (-x - 1)\mathrm{e}^{-x}$

Réponse : $f'(x) = 1 \times \mathrm{e}^{-x} + (- \mathrm{e}^{-x})(x + 2) = \mathrm{e}^{-x}(1 - x - 2) = (-x - 1)\mathrm{e}^{-x}$

Partie II - 2.b. Étudier les variations sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations

Réponse : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ; -1]$ et strictement décroissante sur $[-1 ; +\infty[$, avec un maximum $f(-1) = \mathrm{e}$

Partie II - 2.c. Valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près

Réponse : $-1{,}6$ / $-1{,}5$

Partie II - 2.c. Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-2 ; -1]$

Réponse : $f$ est continue et strictement croissante sur $[-2 ; -1]$, avec $f(-2) = 0$ et $f(-1) = \mathrm{e} \approx 2{,}718$. Comme $2 \in [0 ; \mathrm{e}]$, d'après le théorème de la bijection / TVI, l'équation admet une unique solution $\alpha$

Partie II - 3. Expression de $f''(x)$

Réponse : $x\mathrm{e}^{-x}$

Partie II - 3. Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point $A$ d'abscisse $0$ ?

Réponse : Un point d'inflexion

Partie II - 3. Étude de la convexité de la fonction $f$

Réponse : $f$ est concave sur $]-\infty ; 0]$ et convexe sur $[0 ; +\infty[$