Exercice 4 - Analyse de fonction · Bac Mathématiques Métropole 2026 (sujet 1)

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Métropole France 1 (2026)

Énoncé

Fonction ff

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]−1;+∞[]-1; +\infty[ par:

f(x)=a+bln⁡(x+1)x+1f(x) = a + \frac{b\ln(x + 1)}{x + 1} où aa et bb sont des réels, et ln⁡\ln désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction ff est deux fois dérivable sur ]−1;+∞[]-1; +\infty[. On note f′f' sa fonction dérivée et f′′f'' sa fonction dérivée seconde.

Partie B: On admet dans la suite de l'exercice que la fonction ff est définie sur ]−1;+∞[]-1; +\infty[ par:

f(x)=1+4ln⁡(x+1)x+1f(x) = 1 + \frac{4\ln(x + 1)}{x + 1}

Partie A

L'objectif de cette partie est de déterminer les valeurs de aa et bb de sorte que la courbe représentative de la fonction ff sur [0;+∞[[0; +\infty[ corresponde à celle tracée dans le repère orthonormé ci-dessous:

On précise que la droite TAT_A est la tangente à la courbe représentative de la fonction ff au point A(0;1)A(0; 1).

1.

Justifier que a=1a = 1.

2.

En utilisant le graphique:

a.

f′(0)=f'(0) =

b.

Signe de f′′(1)f''(1):

3.

a.

Montrer que pour tout réel xx appartenant à ]−1;+∞[]-1; +\infty[, on a:

f′(x)=b(1−ln⁡(x+1))(x+1)2f'(x) = \frac{b(1 - \ln(x + 1))}{(x + 1)^2}

b.

b=b =

Partie B

On admet dans la suite de l'exercice que la fonction ff est définie sur ]−1;+∞[]-1; +\infty[ par:

f(x)=1+4ln⁡(x+1)x+1f(x) = 1 + \frac{4\ln(x + 1)}{x + 1}

1.

Justifier que la droite d'équation y=1y = 1 est asymptote à la courbe représentative de la fonction ff.

2.

Ensemble des solutions:

3.

On admet que lim⁡x→−1f(x)=−∞\lim_{x \to -1} f(x) = -\infty.

Dresser le tableau de variation complet de la fonction ff en indiquant la valeur exacte de son extremum. Justifier.

4.

Montrer que l'équation f(x)=1,5f(x) = 1{,}5 admet une unique solution dans l'intervalle [2;+∞[[2; +\infty[. En donner une valeur arrondie à 10−110^{-1}.

x≈x \approx

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Justifier que a = 1.

Réponse : Le point A(0 ; 1) appartient à la courbe représentative de f, donc f(0) = 1. Or f(0) = a + (b ln(1))/1 = a car ln(1) = 0. Donc a = 1.

2. a. Donner la valeur de f'(0).

Réponse : 4

2. a. Justifier la valeur de f'(0).

Réponse : f'(0) est le coefficient directeur de la tangente TA au point A(0 ; 1). Graphiquement, TA passe par (0, 1) et (1, 5), donc son coefficient directeur est 4.

2. b. Donner le signe de f''(1).

Réponse : négatif / < 0

2. b. Justifier le signe de f''(1).

Réponse : Autour du point d'abscisse 1, la courbe est concave (tournée vers le bas), donc sa dérivée f' est décroissante, d'où f''(1) < 0.

3. a. Montrer que pour tout réel x appartenant à ]-1 ; +infini[, on a f'(x) = (b(1 - ln(x + 1))) / (x + 1)^2.

Réponse : On pose u(x) = ln(x+1) et v(x) = x+1, avec u'(x) = 1/(x+1) et v'(x) = 1. La dérivée de u/v donne (1 - ln(x+1))/(x+1)^2, donc f'(x) = b(1 - ln(x+1))/(x+1)^2.

3. b. En déduire la valeur de b.

Réponse : 4

Partie B - 1. Justifier que la droite d'équation y = 1 est asymptote à la courbe représentative de la fonction f.

Réponse : lim(x->+infini) ln(x+1)/(x+1) = 0 par croissances comparées, donc lim(x->+infini) f(x) = 1. La droite y = 1 est donc asymptote horizontale en +infini.

Partie B - 2. Résoudre l'inéquation 1 - ln(x + 1) > 0 sur ]-1 ; +infini[.

Réponse : ]-1 ; e - 1[

Partie B - 3. Indiquer la valeur exacte de l'extremum de f.

Réponse : 1 + 4/e

Partie B - 3. Dresser le tableau de variation complet de la fonction f. Justifier.

Réponse : f est strictement croissante sur ]-1 ; e - 1] de -infini à 1 + 4/e, puis strictement décroissante sur [e - 1 ; +infini[ de 1 + 4/e à 1.

Partie B - 4. Donner une valeur arrondie à 10^-1 de l'unique solution de f(x) = 1,5 sur [2 ; +infini[.

Réponse : 25,1

Partie B - 4. Montrer que l'équation f(x) = 1,5 admet une unique solution dans l'intervalle [2 ; +infini[.

Réponse : f est continue et strictement décroissante sur [2 ; +infini[. f(2) = 1 + (4 ln 3)/3 ≈ 2,46 > 1,5 et lim(x->+infini) f(x) = 1 < 1,5. Comme 1,5 appartient à ]1 ; f(2)], le corollaire du TVI assure l'existence et l'unicité de la solution.

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