Exercice 4 · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2023

Exercice 4 (7 points)

PARTIE A

On définit sur l'intervalle $]0; +\infty[$ la fonction $g$ par: $$g(x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \ln x$$

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

1.

Montrer que pour $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $(x^2 - 2x + 2)$.

2.

En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.

3.

Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0{,}5; 1]$, que l'on notera $\alpha$.

4.

On donne le tableau de signes de $g$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$:

$x$

$0$

$\alpha$

$+\infty$

$g(x)$

$-$

$0$

$+$

Justifier ce tableau de signes à l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes.

PARTIE B

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par: $$f(x) = e^x \ln x$$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée, $f''$ sa fonction dérivée seconde et on admet que pour tout nombre réel $x > 0$: $$f'(x) = e^x \left(\frac{1}{x} + \ln x\right)$$

Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a: $$f''(x) = e^x \left(\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \ln x\right)$$

2. On pourra remarquer que pour tout réel $x > 0$, $f''(x) = e^x \times g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A.

2.a.

Dresser le tableau de signes de la fonction $f''$ sur $]0; +\infty[$. Justifier.

2.b.

Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion A.

2.c.

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$. Justifier.

3.a.

Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

3.b.

Montrer que $f'(\alpha) = \frac{e^\alpha}{\alpha^2}(1 - \alpha)$. On rappelle que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = 0$.

3.c.

Démontrer que $f'(\alpha) > 0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $]0; +\infty[$.

3.d.

En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.