Exercice A · Bac Mathématiques Métropole 2021 (sujet 2)

Exercice A (5 points)

Principaux domaines abordés:

Fonction exponentielle; dérivation.

Le graphique ci-contre représente, dans un repère orthogonal, les courbes $C_f$ et $C_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par:

$$f(x) = x^2 e^{-x} \quad \text{et} \quad g(x) = e^{-x}$$

La question 3 est indépendante des questions 1 et 2.

1. a.

Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $C_f$ et $C_g$.

Abscisse $x_1$:

Ordonnée $y_1$:

Abscisse $x_2$:

Ordonnée $y_2$:

1. b.

Étudier la position relative des courbes $C_f$ et $C_g$.

2. Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-1; 1]$, on considère les points $M$ de coordonnées $(x; f(x))$ et $N$ de coordonnées $(x; g(x))$, et on note $d(x)$ la distance $MN$.

On admet que: $d(x) = e^{-x} - x^2 e^{-x}$.

On admet que la fonction $d$ est dérivable sur l'intervalle $[-1; 1]$ et on note $d'$ sa fonction dérivée.

2. a.

Montrer que $d'(x) = e^{-x}(x^2 - 2x - 1)$.

2. b.

En déduire les variations de la fonction $d$ sur l'intervalle $[-1; 1]$.

2. c.

Déterminer l'abscisse commune $x_0$ des points $M_0$ et $N_0$ permettant d'obtenir une distance $d(x_0)$ maximale, et donner une valeur approchée à 0,1 près de la distance $M_0N_0$.

3.

Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = x + 2$.

On considère la fonction $h$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et définie par: $h(x) = e^{-x} - x - 2$.

En étudiant le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$, déterminer le nombre de points d'intersection de la droite $\Delta$ et de la courbe $C_g$.