Exercice 3 - Partie A · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2022

Exercice 3 (7 points)

Thèmes: fonctions logarithme et exponentielle, suites

Les parties A et B sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1; +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1; +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln x}{x}$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

1.

Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

2.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1; +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

a.

Montrer que, pour tout nombre réel $x \ge 1$, $f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}$.

b.

Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.

c.

Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.

3.

Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.

a.

Montrer que, si $0 \le k \le \frac{1}{e}$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1; e]$.

b.

Si $k > \frac{1}{e}$, l'équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l'intervalle $[1; +\infty[$ ? Justifier.