Exercice 4 - Questions 1.c à 3.b · Bac Mathématiques Métropole 2023 (sujet 2)

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Métropole France 2 (2023)

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ln⁡(1+e−x)f(x) = \ln(1 + \mathrm{e}^{-x}), où ln⁡\ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note C\mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;ı⃗,ȷ⃗)(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}). La courbe C\mathcal{C} est tracée ci-dessous.

1. c.

On admet que la fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} et on note f′f' sa fonction dérivée. Calculer f′(x)f'(x) puis montrer que, pour tout nombre réel xx, f′(x)=−11+exf'(x) = \frac{-1}{1+\text{e}^x}.

1. d.

Dresser le tableau de variations complet de la fonction ff sur R\mathbb{R}.

2. a.

On note T0T_0 la tangente à la courbe C\mathcal{C} en son point d'abscisse 00. Déterminer une équation de la tangente T0T_0.

2. b.

Montrer que la fonction ff est convexe sur R\mathbb{R}.

2. c.

En déduire que, pour tout nombre réel xx, on a: f(x)≥−12x+ln⁡(2)f(x) \ge -\frac{1}{2}x + \ln(2).

3. a.

Pour tout nombre réel aa différent de 00, on note MaM_a et NaN_a les points de la courbe C\mathcal{C} d'abscisses respectives −a-a et aa. On a donc: Ma(−a;f(−a))M_a(-a; f(-a)) et Na(a;f(a))N_a(a; f(a)).

Montrer que, pour tout nombre réel xx, on a: f(x)−f(−x)=−xf(x) - f(-x) = -x.

3. b.

En déduire que les droites T0T_0 et (MaNa)(M_aN_a) sont parallèles.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. c. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f' sa fonction dérivée. Calculer f'(x) puis montrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) = -1/(1+e^x).

Réponse : f′(x)=−e−x1+e−x=−11+exf'(x) = \frac{-\text{e}^{-x}}{1+\text{e}^{-x}} = \frac{-1}{1+\text{e}^x}

1. d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction f sur R.

Réponse : ff est strictement décroissante sur R\mathbb{R}, décroissant de +∞+\infty à 00.

2. a. Déterminer une équation de la tangente T_0.

Réponse : y=−12x+ln⁡(2)y = -\frac{1}{2}x + \ln(2)

2. b. Montrer que la fonction f est convexe sur R.

Réponse : f′′(x)=ex(1+ex)2>0f''(x) = \frac{\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2} > 0 sur R\mathbb{R}, donc ff est convexe.

2. c. En déduire que, pour tout nombre réel x, on a : f(x) >= -1/2 x + ln(2).

Réponse : La courbe d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier T0T_0.

3. a. Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : f(x) - f(-x) = -x.

Réponse : f(x)−f(−x)=ln⁡(1+e−x1+ex)=ln⁡(e−x)=−xf(x) - f(-x) = \ln\left(\frac{1+\text{e}^{-x}}{1+\text{e}^x}\right) = \ln(\text{e}^{-x}) = -x

3. b. En déduire que les droites T_0 et (M_aN_a) sont parallèles.

Réponse : Le coefficient directeur de (MaNa)(M_aN_a) est égal à −12-\frac{1}{2}, qui est le même que celui de T0T_0.

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