Exercice 2 - Questions 3 à 7 : Dérivation et étud… · Bac Mathématiques Métropole 2023 (sujet 1)

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\;\ +\infty[$ par $f(x) = x^2 - 8\ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que $f$ est dérivable sur $]0\;\ +\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée.

3.

Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0; +\infty[$, $f'(x) = \frac{2(x^2-4)}{x}$.

4.

Étudier les variations de $f$ sur $]0; +\infty[$ et dresser son tableau de variations complet.

On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0; +\infty[$.

5.

Démontrer que, sur l'intervalle $]0; 2]$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).

6.

On admet que, sur l'intervalle $[2; +\infty[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$).

En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

7.

Pour tout nombre réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0; +\infty[$ par:

$$g_k(x) = x^2 - 8\ln(x) + k$$

En s'aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $]0; +\infty[$.