Exercice 2 - Questions 3, 4.a-c, 5 · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2026

Soit $f$ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ définie par $f(x) = (3x - 1)\mathrm{e}^{-x} + 2$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$.

3.a.

Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x) = (4 - 3x)e^{-x}$.

3.b.

Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

4.a.

Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$. On notera $\alpha$ cette solution.

4.b.

Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

4.c.

En déduire le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

5.

On admet que la droite d'équation $y = 4x + 1$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

Vérifier que, pour tout réel $x$, $(3x - 1)e^{-x} + 2 \le 4x + 1$.