Exercice B · Bac Mathématiques Métropole 2021 (sujet 2)

Exercice B

Principaux domaines abordés:

Fonction logarithme; dérivation.

Partie I: Étude d'une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par: $g(x) = \ln(x) + 2x - 2$.

1.

Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et $0$.

2.

Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $]0; +\infty[$.

3.

Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0; +\infty[$.

4.

Calculer $g(1)$ puis déterminer le signe de $g$ sur $]0; +\infty[$.

Partie II: Étude d'une fonction $f$

On considère la fonction $f$, définie sur $]0; +\infty[$ par: $f(x) = \left(2 - \frac{1}{x}\right)(\ln(x) - 1)$.

1. a.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $f'$ sa dérivée. Démontrer que, pour tout $x$ de $]0; +\infty[$, on a: $$f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$$

1. b.

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$. Le calcul des limites n'est pas demandé.

2.

Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $]0; +\infty[$ puis dresser le tableau de signes de $f$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

Partie III: Étude d'une fonction $F$ admettant pour dérivée la fonction $f$

On admet qu'il existe une fonction $F$ dérivable sur $]0; +\infty[$ dont la dérivée $F'$ est la fonction $f$. Ainsi, on a: $F' = f$.

On note $\mathcal{C}_F$ la courbe représentative de la fonction $F$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. On ne cherchera pas à déterminer une expression de $F(x)$.

1.

Étudier les variations de $F$ sur $]0; +\infty[$.

2.

La courbe représentative $\mathcal{C}_F$ de $F$ admet-elle des tangentes parallèles à l'axe des abscisses ? Justifier la réponse.