Exercice 4 - Dérivation · Bac Mathématiques Métropole 2026 (sujet 2)

Exercice 4 (6 points)

Partie A

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal. On note $f'$ sa fonction dérivée.

On précise que:

la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$ d'abscisse 1;

la tangente $T_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A\left(\frac{1}{2}\,;\,0\right)$ passe par le point $B(1\,;\,\mathrm{e}^2)$.

Partie B

Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-contre (Fig. 1). La dimension de $0{,}3\text{ cm}$ indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client.

L'industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l'aide d'une portion de la courbe de la fonction $f$ vue en partie A, et de l'image de cette portion par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, sur un intervalle $[0{,}5\,;\,\alpha]$.

Le nombre $\alpha$ est un réel supérieur à 1 que l'on déterminera dans cette partie.

L'ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig. 2) d'unité $1\text{ cm}$.

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par:

$$f(x) = (2x - 1)\mathrm{e}^{-2x+3}$$

Partie C

On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d'acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la partie B. On précise que cette plaque a une épaisseur de $0{,}2\text{ cm}$.

Partie A

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal. On note $f'$ sa fonction dérivée.

On précise que:

la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$ d'abscisse $1$;

la tangente $T_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A\left(\frac{1}{2}\,;\,0\right)$ passe par le point $B(1\,;\,\mathrm{e}^2)$.

1. a.

À l'aide du graphique ci-dessus, donner $f'(1)$.

1. b.

Donner la solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[0\,;\,3]$.

2.

Déterminer $f'\left(\frac{1}{2}\right)$.

Partie B

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$ par: $f(x) = (2x - 1)\mathrm{e}^{-2x+3}$.

2. a.

Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$, $f'(x) = (-4x + 4)\mathrm{e}^{-2x+3}$. Justifier par le calcul de la dérivée.

2. b.

Construire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$.

$x$

$0$

$1$

$+\infty$

Signe de $f'(x)$

$f(x)$ aux bornes et extremum