Exercice 1 - Partie A : Dérivation et étude de fo… · Bac Mathématiques Métropole 2022 (sujet 1)

Exercice 1 (7 points)

Thèmes: fonction exponentielle, suites.

Dans le cadre d'un essai clinique, on envisage deux protocoles de traitement d'une maladie. L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A: Étude du premier protocole

Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient. On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; 10]$ par $f(t) = 3t e^{-0,5t+1}$, où $t$ désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.

1. a)

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0; 10]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout nombre réel $t$ de $[0; 10]$, on a: $f'(t) = 3(-0,5t + 1)e^{-0,5t+1}$.

1. b)

En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 10]$. Préciser les variations (croissante, décroissante) et les valeurs aux bornes et à l'extremum.

1. c)

Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ?

2. a)

Montrer que l'équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0; 2]$, notée $\alpha$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

On admet que l'équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l'intervalle $[2; 10]$, notée $\beta$, et qu'une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près est $3,46$.

2. b)

On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5$ mg.

Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.