Exercice 1 - Dérivation · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2025

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Métropole France 1 remplacement (2025)

Énoncé

Partie B

On s'intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas.

La glycémie en g⋅L−1\text{g}\cdot\text{L}^{-1}, en fonction du temps tt, exprimé en heure, écoulé depuis la fin du repas, est modélisée par la fonction ff définie sur [0   6][0\;\ 6] par:

f(t)=(t+1)e−0,4tf(t) = (t + 1)\mathrm{e}^{-0{,}4t}

1. a.

Montrer que, pour tout t∈[0 ; 6]t \in [0\,;\,6], f′(t)=(−0,4t+0,6)e−0,4tf'(t) = (-0{,}4t + 0{,}6)\mathrm{e}^{-0{,}4t}.

1. b.

Étudier les variations de ff sur [0 ; 6][0\,;\,6] puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.

Énoncé: Exercice 1 - Dérivation · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2025

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. a. Montrer que, pour tout t∈[0;6]t \in [0 ; 6], f′(t)=(−0,4t+0,6)e−0,4tf'(t) = (-0{,}4t + 0{,}6)\mathrm{e}^{-0{,}4t}.

Réponse : f′(t)=1e−0,4t+(t+1)(−0,4)e−0,4t=(−0,4t+0,6)e−0,4tf'(t) = 1\mathrm{e}^{-0{,}4t} + (t + 1)(-0{,}4)\mathrm{e}^{-0{,}4t} = (-0{,}4t + 0{,}6)\mathrm{e}^{-0{,}4t}

1. b. Valeur de tt où s'annule f′(t)f'(t) sur [0;6][0 ; 6]

Réponse : 1,5

1. b. Étudier les variations de ff sur [0;6][0 ; 6] puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.

Réponse : ff est strictement croissante sur [0;1,5][0 ; 1,5] et strictement décroissante sur [1,5;6][1,5 ; 6].

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