Abitur NRW Mathematik 2025 · LK · Teil A · Stochastik

Bei einem Spiel wird ein Würfel zweimal geworfen. Die Seiten des Würfels sind mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert.

a)

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei keinem der beiden Würfe die Zahl 3 zu erzielen, $\frac{25}{36}$ beträgt.

[2 BE]

b)

Der Einsatz bei diesem Spiel beträgt 2 Euro. Je nachdem, wie oft dabei die Zahl 3 erzielt wird, werden folgende Auszahlungen getätigt:

Anzahl der Würfe, bei denen die Zahl 3 erzielt wird

0

1

2

Auszahlung in Euro

0

5

$x$

Bei wiederholter Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgleichen. Ermitteln Sie den Wert von $x$.

[3 BE]

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $X_1$ mit den Parametern $n_1$ und $p_1$. Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X_1$.

a

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage richtig ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung:

[2 BE]

$$\sum_{k=16}^{20} P(X_1 = k) > 0{,}5$$

Betrachtet wird zudem die binomialverteilte Zufallsgröße $X_2$ mit den Parametern $n_2$ und $p_2$. Abbildung 2 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X_2$.

b

Die Erwartungswerte von $X_1$ und $X_2$ sind ganzzahlig und es gilt $n_1 = n_2$. Weisen Sie unter Verwendung der Abbildungen 1 und 2 nach, dass $p_2 = 4 \cdot p_1$ gilt.

[3 BE]

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$ mit $p < 1$. Es ist bekannt, dass $P(X = 1)$ vierzehnmal so groß ist wie $P(X = 0)$ und dass der Erwartungswert von $X$ gleich $10$ ist.

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$ mit $p < 1$.

Es ist bekannt, dass $P(X = 1)$ vierzehnmal so groß ist wie $P(X = 0)$ und dass der Erwartungswert von $X$ gleich $10$ ist. Berechnen Sie die Werte von $p$ und $n$.

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$ mit $p < 1$. Es ist bekannt, dass $P(X = 1)$ vierzehnmal so groß ist wie $P(X = 0)$ und dass der Erwartungswert von $X$ gleich $10$ ist.

a

Der Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der dabei erzielten Zahlen an. Begründen Sie, dass $P(X = 10) = P(X = 15)$ ist. [2 BE]

b

Nun wird der Würfel $n$-mal geworfen, wobei $n$ größer als 2 ist. Ermitteln Sie einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der $n$ erzielten Zahlen ist 2, 3 oder 5.“ [3 BE]

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$ mit $p < 1$. Es ist bekannt, dass $P(X = 1)$ vierzehnmal so groß ist wie $P(X = 0)$ und dass der Erwartungswert von $X$ gleich $10$ ist.

Zu einem Zufallsexperiment werden zwei stochastisch unabhängige Ereignisse $A$ und $B$ betrachtet. Es gilt $P(B) = P(A) + 0{,}6$ sowie $P(A \cap \overline{B}) = 0{,}04$.

Bestimmen Sie $P(A)$.