Abitur NRW Mathematik 2019 · GK · Teil A · Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x + 1$ und $x \in \mathbb{R}$.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g\colon x \mapsto x^2 - 3$ und $h\colon x \mapsto -x^2 + 2x + 1$.

a

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von $g$ und $h$ nur für $x = -1$ und $x = 2$ schneiden. [2 BE]

b

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $g$ und $h$ einschließen. [3 BE]

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x + 1$ und $x \in \mathbb{R}$.

a)

Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte, in denen der Graph von $f$ die Gerade mit der Gleichung $y = 1$ schneidet.

$x_1 =$

$x_2 =$

$x_3 =$

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x + 1$ und $x \in \mathbb{R}$.

b)

Unter den Tangenten an den Graphen von $f$ hat eine die kleinste Steigung. Bestimmen Sie die Steigung dieser Tangente.

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \sin(x) - 2$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$.

a

Skizzieren Sie den Graphen von $f$ für $-\pi \le x \le 4\pi$ im abgebildeten Koordinatensystem.

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \sin(x) - 2$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$.

b

Jede Tangente an den Graphen von $f$ in einem der Punkte $(2k\pi \mid f(2k\pi))$ mit $k \in \mathbb{N}$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Begründen Sie, dass jedes dieser Dreiecke gleichschenklig ist.