Abitur NRW Mathematik 2026 · GK · Teil A · Analysis

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 3x$ wird mit $G$ bezeichnet.

a

Weisen Sie nach, dass $G$ einen Hochpunkt mit der $x$-Koordinate $-1$ hat. [2 BE]

b

$G$ ist symmetrisch zum Koordinatenursprung. Berechnen Sie den Abstand zwischen dem Hoch- und dem Tiefpunkt von $G$. [3 BE]

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 3x$ wird mit $G$ bezeichnet.

a

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. [2 BE]

b

Gegeben ist außerdem die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit $g(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{1}{3}x\right)$.

Betrachtet wird die Strecke zwischen zwei direkt aufeinanderfolgenden Extrempunkten des Graphen von $g$. Untersuchen Sie, ob die Strecke zwischen diesen beiden Extrempunkten kürzer als die Strecke $\overline{\mathrm{AB}}$ ist. [3 BE]

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 3x$ wird mit $G$ bezeichnet.

a

Berechnen Sie den Wert des Integrals $\int\limits_{-1}^0 f(x)\,\mathrm{d}x$.

[3 BE]

b

Der Graph von $f$ und die x-Achse schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht. Beurteilen Sie, ob der Wert des Terms $\int\limits_{-2}^0 f(x)\,\mathrm{d}x + \int\limits_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ dem Inhalt dieser Fläche entspricht.

[2 BE]

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 3x$ wird mit $G$ bezeichnet.

1 Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ sowie den Graphen ihrer ersten Ableitungsfunktion $f'$.

a

Begründen Sie, dass Graph I der Graph von $f$ ist.

[2 BE]

b

Es gilt:

$$\int_{-2}^{2} (f(x) - f'(x))\,\mathrm{d}x < 12$$

Veranschaulichen Sie diese Aussage grafisch durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

[3 BE]

Die Abbildung zeigt die Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten linearen Funktion $g$ und der in $\mathbb{R}$ definierten differenzierbaren Funktion $f$.

a

Begründen Sie, dass $g'(3) = 2$ gilt.

[1 BE]

b

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen von $h$ im Punkt $(3 \mid h(3))$.

[4 BE]

$h'(3) =$

Die Abbildung zeigt die Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten linearen Funktion $g$ und der in $\mathbb{R}$ definierten differenzierbaren Funktion $f$.

Die Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $f'$ einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$. Die einzige Nullstelle von $f'$ ist $-3$.

a)

Begründen Sie, dass $f$ für $x \le -3$ monoton fallend und für $x \ge -3$ monoton steigend ist.

[2 BE]

b)

Es gilt $f(-3) = 2$. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

[3 BE]

Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann besitzt der Graph von $F$ keinen Extrempunkt.