Abitur NRW Mathematik 2019 · LK · Teil A · Lineare Algebra

In einem System verteilt sich der Gesamtbestand auf die Zustände A und B. Zum Zeitpunkt $n$ mit $n \in \mathbb{N}$ wird die Verteilung auf die Zustände A und B durch den Verteilungsvektor $\vec{v}_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ beschrieben. Dabei gibt $a_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands an, der sich im Zustand A befindet, und $b_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand B befindet. Zum Zeitpunkt 0 sind beide Anteile größer als null. Die Abbildung beschreibt die Übergänge zwischen den Zuständen von einem Zeitpunkt zum nächsten.

Die Entwicklung der Verteilung wird durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit $M = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$ beschrieben.

a)

Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung, wie sich die Verteilung auf lange Sicht entwickelt. [2 BE]

b)

Bestimmen Sie mithilfe des Terms $M \cdot \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ den kleinsten Wert von $n$, für den der Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand A befindet, bis zum Zeitpunkt $n$ auf weniger als 10 % seines Werts zum Zeitpunkt 0 abnimmt. [3 BE]

Definition

Für jede Matrix $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ und $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ heißt die Matrix $M^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ transponierte Matrix von $M$. Eine Matrix $M$ heißt orthogonal, wenn $M^T \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ gilt.

a)

Zeigen Sie, dass die Matrix $\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}$ orthogonal ist. [2 BE]

b)

Untersuchen Sie, ob die Matrix $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{101}$ orthogonal ist. [3 BE]