Abitur NRW Mathematik 2024 · LK · Teil A · Lineare Algebra

Ein Unternehmen produziert aus zwei Rohstoffen drei Zwischenprodukte, aus denen dann zwei Endprodukte hergestellt werden.

Für den Produktionsprozess gilt $\vec{r} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 12 & 10 \end{pmatrix} \cdot \vec{e}$ und $\vec{z} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \vec{e}$. Dabei gibt der Vektor $\vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten (ME) der beiden Rohstoffe an, der Vektor $\vec{z} = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten der drei Zwischenprodukte und der Vektor $\vec{e} = \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten der beiden Endprodukte.

a

Bestimmen Sie für jeden der beiden Rohstoffe die Anzahl der Mengeneinheiten, die zur Herstellung von 2 ME des ersten und 2 ME des zweiten Endprodukts insgesamt benötigt werden.

ME

ME

b

Für 1 ME des ersten, 1 ME des zweiten und 1 ME des dritten Zwischenprodukts ist jeweils die gleiche Anzahl von Mengeneinheiten des ersten Rohstoffs erforderlich. Sowohl für 1 ME des ersten als auch für 1 ME des zweiten Zwischenprodukts werden 2 ME des zweiten Rohstoffs benötigt. Bestimmen Sie die Matrix $M$, für die $\vec{r} = M \cdot \vec{z}$ gilt.

$M =$

Gegeben ist die Matrix $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Gegeben ist die Matrix $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$.

Beschreiben Sie zunächst die Veränderungen, die sich für eine beliebige $3\times 3$-Matrix ergeben, wenn diese von rechts mit $M$ multipliziert wird bzw. wenn diese von links mit $M$ multipliziert wird.

Bestimmen Sie die Werte von $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, so dass für die Matrix

$$A = \begin{pmatrix} 0 & a & 2 \\ b & 2c & d \\ 1 & 2d-b & c-a \end{pmatrix}$$

gilt: $M \cdot A \cdot M = A$.

Gegeben ist die Matrix $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

a

Interpretieren Sie das lineare Gleichungssystem im gegebenen Sachzusammenhang. [2 BE]

b

Das lineare Gleichungssystem hat die Lösungsmenge ${(-1+2s\mid 2-3s\mid s)\mid s\in\mathbb{R}}$.

Zeigen Sie, dass die folgende Aussage wahr ist: [3 BE]

Der Anteil von Fruchtsaft $F_z$ am neuen Fruchtsaft ist mindestens doppelt so groß wie der Anteil von Fruchtsaft $F_x$.