Abitur NRW Mathematik 2026 · LK · Teil A · Lineare Algebra

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population von Insekten. Diese Entwicklung vollzieht sich in drei Stadien. Die Verteilung der Insekten auf die drei Stadien kann durch Vektoren $\vec{v_n}$ der Form $\begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix}$ mit $n \in \mathbb{N}$ dargestellt werden. Dabei ist $A$ die Anzahl der Insekten im ersten Stadium, $B$ die Anzahl der Insekten im zweiten Stadium und $C$ die Anzahl der Insekten im dritten Stadium. Die Entwicklung der Population von einem Tag zum nächsten lässt sich modellhaft durch die Matrix $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ r & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}6 & 0 \end{pmatrix}$ mit der reellen Zahl $r$ und die Gleichung $\vec{v_{n+1}} = M \cdot \vec{v_n}$ beschreiben, wobei $\vec{v_0} \neq \vec{0}$ die Verteilung der Insekten auf die drei Stadien zu Beobachtungsbeginn angibt.

a

Begründen Sie, dass das abgebildete Übergangsdiagramm fehlerhaft ist. [1 BE]

b

Nach drei Tagen stimmt die Verteilung der Insekten auf die drei Stadien mit der Verteilung der Insekten auf die drei Stadien zu Beobachtungsbeginn überein. Bestimmen Sie $r$. [4 BE]

Gegeben ist die Matrix $$A = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ -4 & 4 & -2 \end{pmatrix}$$. Für eine reelle Zahl $a$ und den Vektor $$\vec{v}_a = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ gilt $$A \cdot \vec{v}_a = 4 \cdot \vec{v}_a$$.

a

Bestimmen Sie $a$.

$a =$

b

Für jede reelle Zahl $c$ gibt es eine reelle Zahl $b$, sodass $$A^{-1} \cdot (b \cdot \vec{v}_a) = c \cdot \vec{v}_a$$ gilt. Hierbei bezeichnet $A^{-1}$ die inverse Matrix zu $A$. Bestimmen Sie $b$ in Abhängigkeit von $c$, ohne die Matrix $A^{-1}$ zu berechnen.

$b =$

Für jede Matrix $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ mit $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ heißt die Matrix $M^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ transponierte Matrix von $M$. Eine Matrix $M$ heißt orthogonal, wenn $M \cdot M^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ gilt.

a

Geben Sie eine orthogonale Matrix der Form $M$ mit $a, b, c, d \in \{0; 1\}$ an, die sich von der Einheitsmatrix unterscheidet.

$($$

$)$

b

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt orthogonale Matrizen der Form $M$ mit $a = d = \frac{1}{3}\sqrt{5}$, die ungleich sind.