Abitur Hessen Mathematik 2022 · LK · Schulen für Erwachsene

Die Geschwindigkeit eines Läufers auf einem Laufband soll für $t \ge 0$ mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + 2t^2$ beschrieben werden ($t$: Zeit in Minuten, $g(t)$: Geschwindigkeit in Kilometern pro Minute). Der Graph von $g$ ist ausschnittsweise in Material 1 dargestellt.

Material 1

Analysis – Niveau 1

1 Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{2}$. Der Graph von $f$ ist in der Abbildung im Material dargestellt.

Material

1.1

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[0;2]$ näherungsweise durch den Flächeninhalt der im Material eingezeichneten Rechtecke.

[2 BE]

1.2

Berechnen Sie den exakten Wert des Inhalts der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[0;2]$.

[2 BE]

1.3

Lea ist der Meinung, dass die Näherung sehr ungenau ist. Sie behauptet: „Der Näherungswert aus Aufgabe 1.1 weicht um mehr als 30 % vom exakten Wert aus Aufgabe 1.2 ab.“

Geben Sie an, ob Leas Behauptung wahr oder falsch ist.

[1 BE]

wahr

falsch

Die Geschwindigkeit eines Läufers auf einem Laufband soll für $t \ge 0$ mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + 2t^2$ beschrieben werden ($t$: Zeit in Minuten, $g(t)$: Geschwindigkeit in Kilometern pro Minute). Der Graph von $g$ ist ausschnittsweise in Material 1 dargestellt.

Material 1

Stochastik – Niveau 1

2 In einem Behälter befinden sich Gummibärchen.

2.1

Es befinden sich 4 rote und 2 grüne Gummibärchen im Behälter. Paula nimmt zufällig drei Gummibärchen heraus und isst sie auf. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie dabei mindestens zwei rote Gummibärchen isst. [3 BE]

2.2

Es befinden sich $n$ Gummibärchen im Behälter, von denen genau eines orange ist. Max nimmt zufällig zwei Gummibärchen heraus und isst sie auf. Die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei das orangene Gummibärchen isst, beträgt 0,2. Ermitteln Sie die Anzahl $n$ der Gummibärchen im Behälter. [2 BE]

Die Geschwindigkeit eines Läufers auf einem Laufband soll für $t \ge 0$ mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + 2t^2$ beschrieben werden ($t$: Zeit in Minuten, $g(t)$: Geschwindigkeit in Kilometern pro Minute). Der Graph von $g$ ist ausschnittsweise in Material 1 dargestellt.

Material 1

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 1

Wird der Punkt $P(1|2|3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(7|2|11)$.

3.1

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [3 BE]

3.2

Auf der Gerade durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E$; dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$. Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $R$. [2 BE]

$R($ $|$ $|$ $)$

Die Geschwindigkeit eines Läufers auf einem Laufband soll für $t \ge 0$ mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + 2t^2$ beschrieben werden ($t$: Zeit in Minuten, $g(t)$: Geschwindigkeit in Kilometern pro Minute). Der Graph von $g$ ist ausschnittsweise in Material 1 dargestellt.

Material 1

Analysis – Niveau 2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$. Berechnen Sie diejenige reelle Zahl $m$ (mit $m > 0$), für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y = -m \cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen. [5 BE]

$m =$

Die Geschwindigkeit eines Läufers auf einem Laufband soll für $t \ge 0$ mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + 2t^2$ beschrieben werden ($t$: Zeit in Minuten, $g(t)$: Geschwindigkeit in Kilometern pro Minute). Der Graph von $g$ ist ausschnittsweise in Material 1 dargestellt.

Material 1

1.1

Berechnen Sie die Nullstellen von $g$ sowie die Art und die Lage der Extrempunkte des Graphen von $g$.

Beschriften Sie die Koordinatenachsen in Material 1 mit einer geeigneten Skala. [9 BE]

1.2

Erläutern Sie die Bedeutung des Hochpunktes sowie die Bedeutung des Terms $\frac{g(1)-g(0{,}5)}{1-0{,}5}$ jeweils im Sachzusammenhang. [4 BE]

Die Geschwindigkeit eines Läufers auf einem Laufband soll für $t \ge 0$ mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + 2t^2$ beschrieben werden ($t$: Zeit in Minuten, $g(t)$: Geschwindigkeit in Kilometern pro Minute). Der Graph von $g$ ist ausschnittsweise in Material 1 dargestellt.

Material 1

1.3

Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion $g'$ in das Koordinatensystem in Material 1.

Erläutern Sie zudem die Bedeutung von $g'$ im Sachzusammenhang. [4 BE]

Die Geschwindigkeit eines Läufers auf einem Laufband soll für $t \ge 0$ mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + 2t^2$ beschrieben werden ($t$: Zeit in Minuten, $g(t)$: Geschwindigkeit in Kilometern pro Minute). Der Graph von $g$ ist ausschnittsweise in Material 1 dargestellt.

Material 1

1.4

Berechnen Sie die Länge des Weges in Metern, den der Läufer in den ersten zwei Minuten auf dem Laufband zurücklegt. [4 BE]

m

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + (2 - 0{,}5a)t^2 + at$ (mit $a \ge 0$).

Die Graphen einiger Funktionen der Schar sind in Material 2 dargestellt, darunter auch der Graph der zur Schar gehörenden Funktion $g$ aus Aufgabe 1 mit $g = f_0$.

Die Hochpunkte der Funktionenschar haben die Koordinaten $H_a(1 \mid 0{,}5a + 0{,}5)$.

Material 2

2.1

Ordnen Sie die Parameter $a = 1$ und $a = 2$ begründet jeweils einem der Graphen $u$, $v$ und $w$ in Material 2 zu.

Beschreiben Sie anhand von Material 2 die Bedeutung des Parameters $a$ für die Lage der Hochpunkte.

[6 BE]

2.3

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Wendestellen von $f_a$ gilt:

$$t_{1/2} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4-a}{6}}$$

Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$, für den die beiden Nullstellen bei $t = 0$ und $t = 2$ gleichzeitig auch die Wendestellen von $f_a$ sind.

[5 BE]

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + (2 - 0{,}5a)t^2 + at$ (mit $a \ge 0$).

Die Graphen einiger Funktionen der Schar sind in Material 2 dargestellt, darunter auch der Graph der zur Schar gehörenden Funktion $g$ aus Aufgabe 1 mit $g = f_0$.

Die Hochpunkte der Funktionenschar haben die Koordinaten $H_a(1 \mid 0{,}5a + 0{,}5)$.

Material 2

2.2

Skizzieren Sie in Material 2 die Tangente an den Hochpunkt des Graphen von $f_0$.

Beschreiben Sie, wie man den Inhalt der Fläche bestimmen kann, die zwischen dieser Tangente und dem Graphen von $f_0$ eingeschlossen ist. [4 BE]

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + (2 - 0{,}5a)t^2 + at$ (mit $a \ge 0$).

Die Graphen einiger Funktionen der Schar sind in Material 2 dargestellt, darunter auch der Graph der zur Schar gehörenden Funktion $g$ aus Aufgabe 1 mit $g = f_0$.

Die Hochpunkte der Funktionenschar haben die Koordinaten $H_a(1 \mid 0{,}5a + 0{,}5)$.

Material 2

Teilaufgabe 2.4

Nachfolgend sind einige Termumformungen angegeben, mithilfe derer der Funktionsterm von $f_a$ als Differenz des Funktionsterms von $f_0$ und des Terms einer Funktionenschar $p_a$ dargestellt werden kann.

$\begin{aligned}

\text{(I)} \quad f_a(t) &= 0{,}5t^4 - 2t^3 + (2 - 0{,}5a)t^2 + at \\[4pt]

\text{(II)} \quad &= 0{,}5\cdot(t^4 - 4t^3 + 4t^2) - 0{,}5a\cdot(t^2 - 2t) \\[4pt]

\text{(III)} \quad &= \underbrace{0{,}5\cdot(t^2\cdot(t - 2)^2)}_{f_0(t)} - \underbrace{0{,}5a\cdot(t\cdot(t - 2))}_{p_a(t)}

\end{aligned}$

a)

Erläutern Sie die von Zeile (II) zu Zeile (III) durchgeführten Umformungen. [2 BE]

b)

Begründen Sie anhand des Funktionsterms von $p_a$ in Zeile (III) die Lage der Nullstellen von $p_a$. [2 BE]

In einem Labor wird das Wachstum einer Population von Mikroorganismen untersucht. Die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) protokolliert. In der folgenden Tabelle sind diese Werte dargestellt.

Zeit $t$ in Tagen · 3 · 5 · 8 · 10 · 12 · 15 · 17 · 19

Anzahl in Hundert · 0,2 · 0,6 · 2,4 · 5,4 · 10,0 · 16,4 · 18,5 · 19,4

Stellen Sie die Datenpaare der Tabelle in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar und beschreiben Sie den Verlauf des Bestandes der Population in den ersten 19 Tagen.

Grafische Darstellung:

Beschreibung:

Der Bestand lässt sich bis zum Ende des zwölften Tags durch eine Exponentialfunktion $\mathrm{f}$ der Form $\mathrm{f}(t) = a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot t}$ modellieren. Hierbei gibt $\mathrm{f}(t)$ die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) und $t$ die Zeit (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) an.

Berechnen Sie mithilfe der Datenpaare der Tabelle für $t = 5$ und $t = 12$ eine Funktionsgleichung der Funktion $f$.

[ zur Kontrolle: $f(t) \approx 0{,}080 \cdot \mathrm{e}^{0{,}402 \cdot t}$ ]

a)

b)

Der Bestand lässt sich bis zum Ende des zwölften Tags durch eine Exponentialfunktion $\mathrm{f}$ der Form $\mathrm{f}(t) = a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot t}$ modellieren. Hierbei gibt $\mathrm{f}(t)$ die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) und $t$ die Zeit (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) an.

Erläutern Sie die Bedeutung des Wertes $a \approx 0{,}080$ im Sachzusammenhang und berechnen Sie unter Verwendung der Funktion $f$ aus Aufgabe 2.1 den prozentualen Zuwachs des Bestandes pro Tag.

a)

b)

%

In einem Labor wird das Wachstum einer Population von Mikroorganismen untersucht. Die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) protokolliert. In der folgenden Tabelle sind diese Werte dargestellt.

Zeit $t$ in Tagen · 3 · 5 · 8 · 10 · 12 · 15 · 17 · 19

Anzahl in Hundert · 0,2 · 0,6 · 2,4 · 5,4 · 10,0 · 16,4 · 18,5 · 19,4

Ab dem Zeitpunkt $t = 12$ wird der Bestand näherungsweise mithilfe der Funktion $g$ mit

$$g(t) = 20 - 1243{,}363 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}402 \cdot t}$$

modelliert. Hierbei gibt $g(t)$ die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) und $t$ die Zeit (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) an.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen von $f$ und $g$ an der Stelle $t = 12$ bei Rundung auf eine Nachkommastelle ohne Sprung und ohne Knick ineinander übergehen.

a)

$f(12) \approx$

$g(12) \approx$

b)

$f'(12) \approx$

$g'(12) \approx$

c)

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe einer Funktion $h$ modelliert werden. Der Graph von $h$ ist im Material angegeben.

Material

Graph und Wertetabelle der Funktion h

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.1 Begründen Sie unter Verwendung der Wertetabelle von $h$ aus dem Material, dass die Funktion $h$ zur Modellierung des Bestandes geeignet ist. [2 BE]

Ihre Begründung wurde erfasst. Vergleichen Sie sie mit der Musterlösung.

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe einer Funktion $h$ modelliert werden. Der Graph von $h$ ist im Material angegeben.

Material

Graph und Wertetabelle der Funktion h

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.2 Erläutern Sie die Bedeutung der Ableitungsfunktion $h'$ im Sachzusammenhang und erklären Sie die Zeilen (1) und (2) im Sachzusammenhang. [4 BE]

(1) $h'(t) = 2 \Rightarrow t_1 \approx 10;\; t_2 \approx 14$

(2) $h'(t) \ge 2$ für alle $t \in [10; 14]$

Ihre Erläuterung wurde gespeichert. Vergleichen Sie sie mit der offiziellen Musterlösung.

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe einer Funktion $h$ modelliert werden. Der Graph von $h$ ist im Material angegeben.

Material

Graph und Wertetabelle der Funktion h

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.3 Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$-Achse im Intervall $[3; 19]$ einschließt, soll näherungsweise bestimmt werden. Im Folgenden bezeichne $O_4$ die Obersumme bei Unterteilung des Intervalls in vier Abschnitte gleicher Breite, $U_4$ die entsprechende Untersumme. Als Näherungswert für den Inhalt der Fläche erhält man:

$$A_4 = \frac{O_4 + U_4}{2} = 141{,}32$$

4.3

Erläutern Sie den Ansatz zur Berechnung von $A_4$ und bestätigen Sie das Ergebnis durch eine Rechnung unter Verwendung der Wertetabelle aus dem Material. [5 BE]

Die Funktionsgleichung von $h$ lautet: $$h(t) = \frac{100}{5 + e^{-0{,}5\cdot t + 7{,}6}}$$

4.4.2

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$-Achse im Intervall $[3; 19]$ einschließt. Nennen Sie eine Möglichkeit, den Flächeninhalt durch Veränderung des Ansatzes aus Aufgabe 4.3 besser anzunähern. [3 BE]

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe einer Funktion $h$ modelliert werden. Der Graph von $h$ ist im Material angegeben.

Material

Graph und Wertetabelle der Funktion h

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

Gegeben ist die Funktionsgleichung: $$h(t) = \frac{100}{5 + e^{-0{,}5\cdot t + 7{,}6}}$$

4.4.1

Berechnen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) gemäß der Modellierung mit der Funktion $h$ den Wert $17$ übersteigt. [4 BE]

Tage

4.4.3

Der Grenzwert von $h$ für $t \to \infty$ beträgt $20$. Begründen Sie diesen Wert anhand des Funktionsterms und erläutern Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang. [3 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Ein Solarhaus ist ein Haus, das seinen Energiebedarf ganz oder zum Teil durch Solarenergie deckt. Ein Prototyp eines solchen Hauses befindet sich im Transferzentrum für angepasste Technologien in Rheine (Material 1). Im Modell liegt der Boden des Hauses in der x-y-Ebene.

Material 1: Solarhaus

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Material 2: Solarhaus mit Bezeichnungen

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Eine der auf dem Dach angebrachten rechteckigen Solarplatten hat in der Modellierung folgende Eckpunkte (alle Einheiten in m):

$A(-1{,}35 \mid -0{,}65 \mid 3)$, $B(-0{,}65 \mid -1{,}35 \mid 3)$, $C(-0{,}4 \mid -1{,}1 \mid 3{,}75)$ und $D(-1{,}1 \mid -0{,}4 \mid 3{,}75)$.

Zur Vereinfachung ist im Folgenden davon auszugehen, dass die rahmenlosen Solarplatten in einer Dachflächenebene liegen.

1.1

Berechnen Sie die Kantenlängen der Solarplatte. [2 BE]

m

m

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Ein Solarhaus ist ein Haus, das seinen Energiebedarf ganz oder zum Teil durch Solarenergie deckt. Ein Prototyp eines solchen Hauses befindet sich im Transferzentrum für angepasste Technologien in Rheine (Material 1). Im Modell liegt der Boden des Hauses in der x-y-Ebene.

Material 1: Solarhaus

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Material 2: Solarhaus mit Bezeichnungen

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Eine der auf dem Dach angebrachten rechteckigen Solarplatten hat in der Modellierung folgende Eckpunkte (alle Einheiten in m):

$A(-1{,}35 \mid -0{,}65 \mid 3)$, $B(-0{,}65 \mid -1{,}35 \mid 3)$, $C(-0{,}4 \mid -1{,}1 \mid 3{,}75)$ und $D(-1{,}1 \mid -0{,}4 \mid 3{,}75)$.

Zur Vereinfachung ist im Folgenden davon auszugehen, dass die rahmenlosen Solarplatten in einer Dachflächenebene liegen.

1.2

Geben Sie eine Gleichung der Ebene $E_1$, in der diese Solarplatte liegt, in Parameterform an und berechnen Sie eine Gleichung der Ebene $E_1$ in Koordinatenform.

[zur Kontrolle: Eine mögliche Gleichung der Ebene ist $E_1: -3x - 3y + 2z = 12$.] [6 BE]

1.3

Prüfen Sie, ob der in den Punkten $V(-2 \mid -1 \mid 1{,}5)$ und $W(-2{,}5 \mid -2 \mid 0)$ angebrachte Stützpfeiler (Material 2) geradlinig an die in der Ebene $E_1$ liegende Dachfläche anschließt. [3 BE]

Ja

Nein

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Ein Solarhaus ist ein Haus, das seinen Energiebedarf ganz oder zum Teil durch Solarenergie deckt. Ein Prototyp eines solchen Hauses befindet sich im Transferzentrum für angepasste Technologien in Rheine (Material 1). Im Modell liegt der Boden des Hauses in der x-y-Ebene.

Material 1: Solarhaus

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Material 2: Solarhaus mit Bezeichnungen

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Ein Teil der Gerade $h$ mit $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ beschreibt die in Material 2 gekennzeichnete Dachkante des Hauses. Hierauf liegt in $4{,}5\text{ m}$ Höhe über dem Boden ein Eckpunkt $Q$ einer geraden Glaspyramide mit quadratischer Grundfläche, die das Dach nach oben hin abschließt (Material 2).

Zur Vereinfachung soll davon ausgegangen werden, dass die Oberfläche der das Dach abschließenden Pyramide einschließlich der Spitze vollständig aus Glas besteht, die Kanten und die Dicke des Glases sollen vernachlässigt werden.

2.1

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $Q$. [3 BE]

$Q($

$\mid$

$\mid$

$)$

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Ein Solarhaus ist ein Haus, das seinen Energiebedarf ganz oder zum Teil durch Solarenergie deckt. Ein Prototyp eines solchen Hauses befindet sich im Transferzentrum für angepasste Technologien in Rheine (Material 1). Im Modell liegt der Boden des Hauses in der x-y-Ebene.

Material 1: Solarhaus

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Material 2: Solarhaus mit Bezeichnungen

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Ein Teil der Gerade $h$ mit $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ beschreibt die in Material 2 gekennzeichnete Dachkante des Hauses. Hierauf liegt in $4{,}5\text{ m}$ Höhe über dem Boden ein Eckpunkt $Q$ einer geraden Glaspyramide mit quadratischer Grundfläche, die das Dach nach oben hin abschließt (Material 2).

Zur Vereinfachung soll davon ausgegangen werden, dass die Oberfläche der das Dach abschließenden Pyramide einschließlich der Spitze vollständig aus Glas besteht, die Kanten und die Dicke des Glases sollen vernachlässigt werden.

2.2

Beschreiben Sie, wie man den Inhalt der Mantelfläche der Glaspyramide berechnen kann, wenn die Koordinaten der anderen Eckpunkte dieser Pyramide bekannt sind. [3 BE]

Vergleichen Sie Ihre Beschreibung mit den Lösungsschritten in der Musterlösung.

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Ein Solarhaus ist ein Haus, das seinen Energiebedarf ganz oder zum Teil durch Solarenergie deckt. Ein Prototyp eines solchen Hauses befindet sich im Transferzentrum für angepasste Technologien in Rheine (Material 1). Im Modell liegt der Boden des Hauses in der x-y-Ebene.

Material 1: Solarhaus

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Material 2: Solarhaus mit Bezeichnungen

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

3 $$E_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$ ist eine Gleichung einer zweiten, zu $E_1$ benachbarten Dachflächenebene dieses Solarhauses.

3.1

Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Schnittgerade $g$ der Ebenen $E_1$ und $E_2$. Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen den beiden Ebenen. [7 BE]

$$\vec{p} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} =$$

$$, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} =$$

3.2

Gegeben sind die Eckpunkte $S_1(0|-2|3)$, $S_2(1|-2|1{,}5)$, $S_3(2|-1|1{,}5)$, $S_4(2|0|3)$, $S_5(1|0|4{,}5)$ und $S_6(0|-1|4{,}5)$, die das in der Ebene $E_2$ liegende nicht regelmäßige Dachflächensechseck bilden (Material 2). Dabei entspricht $S_5$ dem Punkt $Q$ aus Aufgabe 2.1 und $S_6$ ist der linke obere Eckpunkt des Sechsecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Sechsecks, indem Sie zunächst diese Fläche wie in Material 2 dargestellt in zwei Trapeze unterteilen. Erläutern Sie auch Ihre Vorgehensweise. [8 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Ein Solarhaus ist ein Haus, das seinen Energiebedarf ganz oder zum Teil durch Solarenergie deckt. Ein Prototyp eines solchen Hauses befindet sich im Transferzentrum für angepasste Technologien in Rheine (Material 1). Im Modell liegt der Boden des Hauses in der x-y-Ebene.

Material 1: Solarhaus

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Material 2: Solarhaus mit Bezeichnungen

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

4 $K(-12{,}75 | -16{,}5 | 18{,}75)$ ist der Punkt an der Spitze eines in der Nähe des Solarhauses stehenden Aussichtsturmes.

Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 2{,}1 \\ -2 \end{pmatrix}$ beschreibt die Richtung der Sonnenstrahlen an einem bestimmten Tag zu einer bestimmten Uhrzeit.

4.1

Zeigen Sie, dass der Schattenpunkt von $K$ auf der Mitte einer der Kanten der Solarplatte aus Aufgabe 1 liegt. Geben Sie auch an, um welche Kante es sich handelt. [5 BE]

$S($

$|$

$|$

$)$

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Ein Solarhaus ist ein Haus, das seinen Energiebedarf ganz oder zum Teil durch Solarenergie deckt. Ein Prototyp eines solchen Hauses befindet sich im Transferzentrum für angepasste Technologien in Rheine (Material 1). Im Modell liegt der Boden des Hauses in der x-y-Ebene.

Material 1: Solarhaus

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Material 2: Solarhaus mit Bezeichnungen

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

4.2 Die Richtung der Sonnenstrahlen zu einer bestimmten Uhrzeit verändert sich im Verlauf des Jahres; die jeweiligen Winkel zwischen den Sonnenstrahlen und der Horizontalen zu dieser Uhrzeit sind in Material 3 dargestellt.

Bestimmen Sie den Monat im Jahr, in dem der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 2{,}1 \\ -2 \end{pmatrix}$ die Richtung der Sonnenstrahlen beschreibt. [4 BE]

Material 3: Winkel zwischen den Sonnenstrahlen und der Horizontalen im Jahresverlauf

a)

°

4.3 Die auftreffende Sonnenstrahlung wird optimal genutzt, wenn die Sonnenstrahlen senkrecht auf die Solarplatte aus Aufgabe 1 treffen. Die Richtung der Sonnenstrahlen zu der betrachteten Uhrzeit im Laufe des Jahres wird modelliert, um die optimale Richtung der Sonnenstrahlen zu bestimmen.

Erläutern Sie zeilenweise die zugehörige Rechnung im Kasten (Material 4) und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. [9 BE]

Material 4: Rechnung im Kasten

Ansatz: $\vec{v_z} = \begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 2{,}1 \\ z \end{pmatrix}$ (mit $z < 0$)

$\sphericalangle(E_1; E_{xy}) = 64{,}8^\circ$

$\alpha_{\text{opt.}} = 180^\circ - (64{,}8^\circ + 90^\circ) = 25{,}2^\circ$

$$\sin(\alpha_{\text{opt.}}) = \frac{1{,}6 \cdot 0 + 2{,}1 \cdot 0 + z \cdot (-1)}{\sqrt{1{,}6^2 + 2{,}1^2 + z^2} \cdot \sqrt{(-1)^2}}$$

nach Umformungen folgt: $z \approx -1{,}24$ (oder $z \approx 1{,}24$)

b)

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ und $\text{D}$ sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

1.1

Begründen Sie, dass die Punkte $B(-11|11|28)$ und $C(11|-11|28)$ symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse liegen. [2 BE]

1.2

Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. [3 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ und $\text{D}$ sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A(11|11|0)$, $B(-11|11|28)$ und $C(11|-11|28)$, die Ebene $F$ die Punkte $B$, $C$ und $D(-11|-11|0)$.

2.1

Geben Sie eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform an. Berechnen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [4 BE]

[zur Kontrolle: $14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308$ ist eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene $E$.]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ und $\text{D}$ sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Die Ebene E enthält die Punkte A, B und C, die Ebene F die Punkte B, C und D.

[zur Kontrolle aus 2.1: $14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308$ ist eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene E.]

2.2

Berechnen Sie die Größe $\varphi$ des Winkels, unter dem E die $x_1$-$x_2$-Ebene schneidet.

[3 BE]

°

Geben Sie einen Term an, mit dem aus $\varphi$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen E und F berechnet werden kann.

[2 BE]

2.3

Die Ebene E teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen.

[3 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ und $\text{D}$ sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

3.1

Das Saarpolygon wird aus verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 1 und 2 in Material 3 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

Abb. 1

Abb. 2

Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 1 und 2 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt. [2 BE]

Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar. [2 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ und $\text{D}$ sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

3.2 Der Punkt $P(0|0|h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ den gleichen Abstand.

Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h$:

$$\text{I } \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix},\quad r \in [0;1] \qquad \text{II } \vec{PQ} \circ \vec{AB} = 0 \qquad \text{III } |\vec{PQ}| = 28 - h$$

Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $h$ zugrunde liegen. [4 BE]

Ihre Antwort wurde abgegeben. Vergleichen Sie Ihre Begründung mit der Musterlösung unten.

Eine Drohne (unbemanntes Luftfahrzeug mit Kamera) fliegt geradlinig. Im Modell liegt ihre Flugbahn auf der Geraden $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}.$$ Der Parameter $t$ beschreibt die Zeit in Sekunden nach dem Start bei $t = 0$. Der Erdboden liegt im Modell in der $x_1$-$x_2$-Ebene.

4.2

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Drohne mit der Seitenkante $\overline{AB}$ des Saarpolygons kollidiert.

Ja

Nein

4.4.1

Die Sonne scheint zu einer bestimmten Uhrzeit in Richtung des Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Ermitteln Sie die Gleichung der Schattengeraden $g'$, auf welcher sich der Schatten der Drohne in der $x_1$-$x_2$-Ebene bewegt.

4.4.3

In der Abbildung in Material 4 sind in der $x_1$-$x_2$-Ebene die Eckpunkte eines Trapezes $GHIJ$ sowie der Schatten des Saarpolygons dargestellt.

Geben Sie für jeden der Punkte $A, B, C, D$ des Saarpolygons an, welcher der Eckpunkte des Trapezes den zugehörigen Schattenpunkt darstellt.

Eine Drohne (unbemanntes Luftfahrzeug mit Kamera) fliegt geradlinig. Im Modell liegt ihre Flugbahn auf der Geraden $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}.$$ Der Parameter $t$ beschreibt die Zeit in Sekunden nach dem Start bei $t = 0$. Der Erdboden liegt im Modell in der $x_1$-$x_2$-Ebene.

4.1

Erläutern Sie, warum die Drohne vom Erdboden startet und sich im Steigflug befindet.

Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn.

[5 BE]

4.3

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Drohne in einer Sekunde eine Strecke von ungefähr 5,1 Metern zurücklegt, und berechnen Sie die Geschwindigkeit der Drohne in der Einheit Kilometer pro Stunde.

[4 BE]

4.4.2

Begründen Sie, dass der Schatten der Strecke $\overline{\mathrm{BC}}$ des Saarpolygons auf dem Erdboden genau so lang ist wie die Strecke $\overline{\mathrm{BC}}$ selbst.

[3 BE]

Stochastik

Die Speisekarte in Material 1 zeigt die angebotenen Speisen einer Mitarbeiter-Kantine an einem Freitag. Man kann sich täglich ein Drei-Gänge-Menü zusammenstellen, indem man eine Vorspeise, eine Hauptspeise und ein Dessert auswählt. Die Gäste haben nach ihrer Auswahl alle Speisen auf einem Tablett, so dass die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.

Material 1

Menükarte Freitag

Vorspeisen: · Gemüsesuppe (v)

Kleiner Salat (v)

Lachsröllchen

Hauptspeisen: · Spaghetti mit Tomatensauce (v)

Käsespätzle (v)

Schnitzel mit Pommes Frites

Panierter Fisch mit Kartoffelsalat

Desserts: · Fruchtsalat (v)

Schokopudding (v)

Apfelstrudel (v)

Gemischtes Eis (v)

(v) vegetarisch

1 Berechnen Sie die Anzahl

$N_1$

aller möglichen Menüs,

$N_1 =$

$N_2$

der möglichen Menüs, wenn man die Hauptspeise durch eine Vorspeise ersetzt (die beiden so gewählten Vorspeisen sollen unterschiedlich sein),

$N_2 =$

$N_3$

der möglichen vegetarischen Menüs, wenn entweder eine Vorspeise, eine Hauptspeise und ein Dessert oder zwei unterschiedliche Vorspeisen und eine Hauptspeise gewählt werden.

$N_3 =$

Die folgenden Anteile beziehen sich auf die Gesamtheit der Besucher der Kantine. Der Anteil der Vegetarier beträgt $30\,\%$. Alle in Material 1 genannten Vorspeisen und alle Desserts sind gleich beliebt. Bei den Hauptspeisen wählen $20\,\%$ die Spaghetti, $25\,\%$ die Käsespätzle, $35\,\%$ das Schnitzel und der Rest den Fisch. Es werden im Folgenden nur die Personen betrachtet, die aus jedem Gang eine Speise wählen. Vegetarier wählen ausschließlich aus den mit (v) gekennzeichneten Gerichten. Die Kantine wird täglich von mehr als 1000 Personen besucht.

2.1

Erläutern Sie allgemein, unter welchen Bedingungen man bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten von Bernoulliketten ausgehen kann.

2.2

Bestimmen Sie unter der Voraussetzung, dass es sich jeweils um eine Bernoullikette handelt, die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$P(A) \approx$

$P(B) \approx$

$P(C) \approx$

$P(D) \approx$

Die folgenden Anteile beziehen sich auf die Gesamtheit der Besucher der Kantine. Der Anteil der Vegetarier beträgt $30\,\%$. Alle in Material 1 genannten Vorspeisen und alle Desserts sind gleich beliebt. Bei den Hauptspeisen wählen $20\,\%$ die Spaghetti, $25\,\%$ die Käsespätzle, $35\,\%$ das Schnitzel und der Rest den Fisch. Es werden im Folgenden nur die Personen betrachtet, die aus jedem Gang eine Speise wählen. Vegetarier wählen ausschließlich aus den mit (v) gekennzeichneten Gerichten. Die Kantine wird täglich von mehr als 1000 Personen besucht.

Die beiden vegetarischen Hauptspeisen sind bei den Vegetariern gleich beliebt. Betrachtet werden die Merkmale $V$: Besucher ist Vegetarier und $K$: Besucher wählt Käsespätzle.

2.3.1

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$P(E) =$

$P(F) =$

$P(G) =$

2.3.2

Untersuchen Sie die Merkmale $V$ und $K$ auf stochastische Unabhängigkeit.

Der Betreiber der Kantine hat die Vermutung, dass der Anteil der Vegetarier nicht mehr 30 % beträgt, sondern gestiegen sein könnte, da die vegetarischen Gerichte stärker nachgefragt werden. Um das Angebot gegebenenfalls anpassen zu können, werden 150 zufällig ausgewählte Besucher der Kantine gefragt, ob sie Vegetarier sind. Bei der Befragung geben 57 Personen an, Vegetarier zu sein.

Material 2

3.1

Entwickeln Sie anhand der Angaben einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ und formulieren Sie eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang.

Entscheiden Sie, ob davon auszugehen ist, dass der Anteil der Vegetarier gestiegen ist.

[7 BE]

3.2

Erläutern Sie die Fehler 1. und 2. Art und deren mögliche Konsequenzen im Sachzusammenhang.

[4 BE]

3.3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn sich der Anteil der Vegetarier tatsächlich auf $40\,\%$ erhöht hat.

[3 BE]

3.4

In Material 2 sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für einen Anteil der Vegetarier von $p_0 = 0{,}3$ und $p_1 = 0{,}4$ dargestellt. Begründen Sie die Lage des Maximums der zu $p_1 = 0{,}4$ gehörigen Verteilung.

Zeichnen Sie die Fläche ein, deren Inhalt ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art darstellt, wobei die Annahme aus Aufgabe 3.3 weiterhin zugrunde gelegt wird.

[4 BE]

3.5

Erläutern Sie anhand des Diagramms in Material 2, wie sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art entwickelt, wenn der tatsächliche Anteil $p$ der Vegetarier von $40\,\%$ kontinuierlich bis auf $100\,\%$ steigt.

Begründen Sie, dass für $p \le 0{,}3$ die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ beizubehalten, mindestens $95{,}29\,\%$ ist, wenn beim Hypothesentest aus Aufgabe 3.1 die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art höchstens $4{,}71\,\%$ beträgt.

Begründen Sie, warum man für $p \le 0{,}3$ den Fehler 2. Art nicht begehen kann.

[5 BE]