Abitur Hessen Mathematik 2022 · GK · CAS

Analysis – Niveau 1

1 Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{2}$. Der Graph von $f$ ist in der Abbildung im Material dargestellt.

Material

1.1

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse im Intervall $[0;2]$ näherungsweise durch den Flächeninhalt der im Material eingezeichneten Rechtecke. (2 BE)

1.2

Berechnen Sie den exakten Wert des Inhalts der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse im Intervall $[0;2]$. (2 BE)

1.3

Lea ist der Meinung, dass die Näherung sehr ungenau ist. Sie behauptet: „Der Näherungswert aus Aufgabe 1.1 weicht um mehr als $30\,\%$ vom exakten Wert aus Aufgabe 1.2 ab.“

Geben Sie an, ob Leas Behauptung wahr oder falsch ist. (1 BE)

wahr

falsch

Stochastik – Niveau 1

2 Zwei Schützen zielen auf eine Scheibe.

2.1

Schütze 1 trifft die Scheibe mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von $p_1 = \frac{2}{3}$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er bei drei Schüssen die Scheibe mindestens zweimal trifft. [3 BE]

2.2

Bei Schütze 2 beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er bei zwei Schüssen die Scheibe beide Male trifft, $\frac{9}{25}$. Bestimmen Sie seine Trefferwahrscheinlichkeit $p_2$. [2 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 1

3 In einem mathematischen Modell wird im Punkt $A(1|-3|0)$ senkrecht zum Erdboden ein $10\text{ Meter}$ hoher Fahnenmast errichtet. Der Erdboden befindet sich in der x-y-Ebene, wobei eine Längeneinheit einem Meter entspricht. Die Koordinaten des Schattenpunktes $S$ der Mastspitze auf dem Boden zu einem bestimmten Zeitpunkt lauten $S(9|3|0)$.

3.1

Berechnen Sie die Länge des Schattens des Fahnenmastes auf dem Boden. [2 BE]

3.2

Ermitteln Sie einen Vektor, der die Richtung der Sonnenstrahlen beschreibt. [2 BE]

$\vec{v} = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

3.3

Zu einem anderen Zeitpunkt ändert sich die z-Koordinate des Sonnenstrahlvektors bei gleichbleibender x- und y-Koordinate so, dass der Schatten des Fahnenmastes auf dem Boden länger wird. Geben Sie ein mögliches Beispiel für einen solchen Sonnenstrahlvektor an. [1 BE]

$\vec{v}_{\text{neu}} = \left(\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}}\right.$

$\left.\vphantom{\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}}\right)$

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 2

Die Positionen zweier hier vereinfachend als punktförmig angenommener Rettungshubschrauber 1 und 2 können während ihrer gleichzeitig stattfindenden Flüge im Zeitraum $0 \leq t \leq 4$ durch die Koordinaten $\mathrm{H}_1(2t + 4 \mid 2t + 5 \mid 0{,}3)$ und $\mathrm{H}_2(3t + 4 \mid 2t + 2 \mid 0{,}3)$ beschrieben werden, wobei eine Längeneinheit $1\text{ km}$ entspricht und $t$ die Zeit in Minuten angibt.

4.1

Die beiden Rettungshubschrauber bewegen sich im betrachteten Zeitraum auf geradlinigen Flugrouten. Geben Sie die entsprechende Geradengleichung für Hubschrauber 1 an.

(1 BE)

$g:\; \vec{x} = {}$

(

)

${} + t \cdot {}$

(

)

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 2

Die Positionen zweier hier vereinfachend als punktförmig angenommener Rettungshubschrauber 1 und 2 können während ihrer gleichzeitig stattfindenden Flüge im Zeitraum $0 \leq t \leq 4$ durch die Koordinaten $\mathrm{H}_1(2t + 4 \mid 2t + 5 \mid 0{,}3)$ und $\mathrm{H}_2(3t + 4 \mid 2t + 2 \mid 0{,}3)$ beschrieben werden, wobei eine Längeneinheit $1\text{ km}$ entspricht und $t$ die Zeit in Minuten angibt.

4.2

Leiten Sie die Formel $d = \sqrt{t^2 + 9}$ für den Abstand der beiden Hubschrauber in Abhängigkeit von der Zeit $t$ her.

4.3

Begründen Sie mithilfe der Formel aus Aufgabe 4.2 ohne weitere Rechnung, zu welchem Zeitpunkt der Abstand der beiden Hubschrauber im betrachteten Zeitraum maximal ist.

Sachzusammenhang: Umgehungsstraße bei Wetzlar

Eine Umgehungsstraße in der Nähe der Stadt Wetzlar wird geplant und soll Bundesstraßen (B49/B277) und einen Autobahnzubringer (A480) verbinden. Hierbei wird der im Material dargestellte Kartenausschnitt verwendet, wobei die y-Achse Richtung Norden zeigt und eine Einheit einem Kilometer entspricht.

Im Modell kann für $x \le 0$ die vorhandene Bundesstraße (B49) durch den Graphen der Funktion $p$ mit $p(x) = -x^2 + 0{,}7x$ beschrieben werden.

Die geplante Umgehungsstraße besteht aus zwei Abschnitten. Der erste Abschnitt, der im Modell vom Koordinatenursprung zum Anschlusspunkt $P_1(2{,}5 \mid 2)$ verläuft, kann durch einen Ausschnitt aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden. Der zweite Abschnitt soll vom Anschlusspunkt $P_1$ bis zum Punkt $P_2(2{,}7 \mid 2{,}4)$ geradlinig verlaufen. Der Übergang der vorhandenen Bundesstraße zum ersten Abschnitt der Umgehungsstraße sowie der Übergang der beiden Abschnitte der Umgehungsstraße sollen jeweils knickfrei verlaufen.

Material: Kartenausschnitt

1 Eine Umgehungsstraße in der Nähe der Stadt Wetzlar wird geplant und soll Bundesstraßen (B49/B277) und einen Autobahnzubringer (A480) verbinden. Hierbei wird der im Material dargestellte Kartenausschnitt verwendet, wobei die y-Achse Richtung Norden zeigt und eine Einheit einem Kilometer entspricht.

Im Modell kann für $x \le 0$ die vorhandene Bundesstraße (B49) durch den Graphen der Funktion $p$ mit $p(x) = -x^2 + 0{,}7x$ beschrieben werden.

Die geplante Umgehungsstraße besteht aus zwei Abschnitten. Der erste Abschnitt, der im Modell vom Koordinatenursprung zum Anschlusspunkt $P_1(2{,}5|2)$ verläuft, kann durch einen Ausschnitt aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden. Der zweite Abschnitt soll vom Anschlusspunkt $P_1$ bis zum Punkt $P_2(2{,}7|2{,}4)$ geradlinig verlaufen. Der Übergang der vorhandenen Bundesstraße zum ersten Abschnitt der Umgehungsstraße sowie der Übergang der beiden Abschnitte der Umgehungsstraße sollen jeweils knickfrei verlaufen.

1.1

Zeigen Sie, dass die Funktion $f$ mit $f(x) = 0{,}176x^3 - 0{,}4x^2 + 0{,}7x$ als Modellfunktion für den ersten Abschnitt der geplanten Umgehungsstraße die genannten Bedingungen für den Verlauf der Umgehungsstraße erfüllt. [6 BE]

1.2

Untersuchen Sie, ob bei Verwendung der Modellfunktion $f$ aus Aufgabe 1.1 der erste Abschnitt der Umgehungsstraße ohne Krümmungsänderung im Anschlusspunkt $P_1(2{,}5|2)$ an den zweiten Abschnitt angeschlossen werden kann. [3 BE]

Sachzusammenhang: Umgehungsstraße bei Wetzlar

Eine Umgehungsstraße in der Nähe der Stadt Wetzlar wird geplant und soll Bundesstraßen (B49/B277) und einen Autobahnzubringer (A480) verbinden. Hierbei wird der im Material dargestellte Kartenausschnitt verwendet, wobei die y-Achse Richtung Norden zeigt und eine Einheit einem Kilometer entspricht.

Im Modell kann für $x \le 0$ die vorhandene Bundesstraße (B49) durch den Graphen der Funktion $p$ mit $p(x) = -x^2 + 0{,}7x$ beschrieben werden.

Die geplante Umgehungsstraße besteht aus zwei Abschnitten. Der erste Abschnitt, der im Modell vom Koordinatenursprung zum Anschlusspunkt $P_1(2{,}5 \mid 2)$ verläuft, kann durch einen Ausschnitt aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden. Der zweite Abschnitt soll vom Anschlusspunkt $P_1$ bis zum Punkt $P_2(2{,}7 \mid 2{,}4)$ geradlinig verlaufen. Der Übergang der vorhandenen Bundesstraße zum ersten Abschnitt der Umgehungsstraße sowie der Übergang der beiden Abschnitte der Umgehungsstraße sollen jeweils knickfrei verlaufen.

Material: Kartenausschnitt

2 Die Länge $L$ einer Kurve, die durch den Graphen einer Funktion $f$ im Intervall von $a$ bis $b$ beschrieben wird, kann mithilfe der Formel

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,\mathrm{d}x$$

berechnet werden.

2.1

Ermitteln Sie unter Verwendung der Funktion $f$ aus Aufgabe 1.1 mit dieser Formel die Länge $L$ des ersten Abschnitts der Umgehungsstraße vom Koordinatenursprung zum Anschlusspunkt $P_1(2{,}5|2)$ und geben Sie Ihr Ergebnis gerundet auf eine Nachkommastelle in Meter an.

(Das Höhenprofil der Landschaft soll nicht berücksichtigt werden, es kann also von einem ebenen Verlauf der Umgehungsstraße ausgegangen werden.)

Bestimmen Sie, um wie viel Prozent der erste Abschnitt der Umgehungsstraße länger ist als die geradlinige Verbindung vom Koordinatenursprung zum Punkt $P_1$.

[zur Kontrolle: Die Länge $L$ beträgt etwa 3,3 Kilometer.]

%

2.2

Die Oberfläche der im ersten Abschnitt $24\text{ m}$ breiten Umgehungsstraße soll mit einer $4\text{ cm}$ starken Deckschicht asphaltiert werden. Erklären Sie die folgende Formel zur Bestimmung des Volumens dieser Deckschicht des ersten Abschnitts der geplanten Umgehungsstraße auf einem Intervall $[a; b]$.

$$V(a; b) = \left( \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\mathrm{d}x \right) \cdot 0{,}024 \cdot 0{,}00004$$

Geben Sie unter Verwendung der Funktion $f$ aus Aufgabe 1.1 das Volumen der Deckschicht des ersten Abschnitts der Umgehungsstraße vom Koordinatenursprung zur Anschlussstelle $P_1(2{,}5|2)$ in Kubikmeter an.

2.3

Die gesamte Umgehungsstraße soll $3{,}75\text{ km}$ lang werden. Es wird ein Durchschnittsverbrauch von $7{,}5\text{ Liter}$ Treibstoff pro $100\text{ km}$ gemittelt über alle Fahrzeuge angenommen. Für die Menge an $\mathrm{CO_2}$, die pro Fahrzeug ausgestoßen wird, werden $2{,}4\text{ kg}$ pro Liter Treibstoff angenommen. Es wird davon ausgegangen, dass pro Tag $10.000$ Fahrzeuge mit Verbrennungsmotor die Umgehungsstraße nutzen.

Berechnen Sie unter den genannten Voraussetzungen die Menge an $\mathrm{CO_2}$ in Tonnen, die pro Jahr durch die Fahrzeuge auf der Umgehungsstraße ausgestoßen wird.

Sachzusammenhang: Umgehungsstraße bei Wetzlar

Eine Umgehungsstraße in der Nähe der Stadt Wetzlar wird geplant und soll Bundesstraßen (B49/B277) und einen Autobahnzubringer (A480) verbinden. Hierbei wird der im Material dargestellte Kartenausschnitt verwendet, wobei die y-Achse Richtung Norden zeigt und eine Einheit einem Kilometer entspricht.

Im Modell kann für $x \le 0$ die vorhandene Bundesstraße (B49) durch den Graphen der Funktion $p$ mit $p(x) = -x^2 + 0{,}7x$ beschrieben werden.

Die geplante Umgehungsstraße besteht aus zwei Abschnitten. Der erste Abschnitt, der im Modell vom Koordinatenursprung zum Anschlusspunkt $P_1(2{,}5 \mid 2)$ verläuft, kann durch einen Ausschnitt aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden. Der zweite Abschnitt soll vom Anschlusspunkt $P_1$ bis zum Punkt $P_2(2{,}7 \mid 2{,}4)$ geradlinig verlaufen. Der Übergang der vorhandenen Bundesstraße zum ersten Abschnitt der Umgehungsstraße sowie der Übergang der beiden Abschnitte der Umgehungsstraße sollen jeweils knickfrei verlaufen.

Material: Kartenausschnitt

3 Gegeben ist die Funktionenschar $f_t$ mit $f_t(x) = 0{,}16 \cdot (t - 0{,}9) \cdot x^3 - 0{,}4 \cdot (t - 1) \cdot x^2 + 0{,}7 \cdot x,\; t \in \mathbb{R}$.

3.1

Zeigen Sie rechnerisch, dass man für den Wert $t = 2$ die Funktionsgleichung der Funktion $f$ aus Aufgabe 1.1 erhält.

[2 BE]

3.2

Falls die geplante Umgehungsstraße südlich des Punkts $P_3(1{,}75|1{,}25)$ verläuft, in der Abbildung im Material also zwischen $P_3$ und der x-Achse, kommt die Umgehungsstraße einem Wohngebiet zu nah oder durchquert es sogar, sodass eine Änderung des Straßenverlaufs notwendig wird.

Bestätigen Sie, dass dies bei Verwendung der Funktion $f_2$ der Fall ist.

Bestimmen Sie den Wert für den Parameter $t$, für welchen der Graph der zugehörigen Funktion der Schar durch den Punkt $P_3$ verläuft.

[5 BE]

3.3

Ermitteln Sie allgemein die Steigung der Graphen der Funktionenschar $f_t$ im Punkt $P_1(2{,}5|2)$.

Es soll diejenige Funktion der Schar $f_t$ als Modellfunktion für den ersten Abschnitt der Umgehungsstraße verwendet werden, deren Graph durch den Punkt $P_3$ verläuft.

Prüfen Sie, ob am Anschlusspunkt $P_1$ der Übergang zum zweiten Abschnitt der Umgehungsstraße weiterhin knickfrei verläuft.

[5 BE]

3.4

Bestimmen Sie alle Werte des Parameters $t$, für welche bei Verwendung von Funktionen der Schar $f_t$ als Modellfunktionen für den ersten Abschnitt der Umgehungsstraße die Umgehungsstraße im Anschlusspunkt $P_1$ linksgekrümmt ist.

[4 BE]

In einem Labor wird das Wachstum einer Population von Mikroorganismen untersucht. Die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) protokolliert. In der folgenden Tabelle sind diese Werte dargestellt.

Zeit $t$ in Tagen · 3 · 5 · 8 · 10 · 12 · 15 · 17 · 19

Anzahl in Hundert · 0,2 · 0,6 · 2,4 · 5,4 · 10,0 · 16,4 · 18,5 · 19,4

1 Stellen Sie die Datenpaare der Tabelle in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar und beschreiben Sie den Verlauf des Bestandes der Population in den ersten 19 Tagen. [5 BE]

In einem Labor wird das Wachstum einer Population von Mikroorganismen untersucht. Die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) protokolliert. In der folgenden Tabelle sind diese Werte dargestellt.

Zeit $t$ in Tagen · 3 · 5 · 8 · 10 · 12 · 15 · 17 · 19

Anzahl in Hundert · 0,2 · 0,6 · 2,4 · 5,4 · 10,0 · 16,4 · 18,5 · 19,4

Der Bestand lässt sich bis zum Ende des zwölften Tags durch eine Exponentialfunktion $f$ der Form $f(t) = a \cdot \mathrm{e}^{k \cdot t}$ modellieren. Hierbei gibt $f(t)$ die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) und $t$ die Zeit (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) an.

2.1

Berechnen Sie mithilfe der Datenpaare der Tabelle für $t = 5$ und $t = 12$ eine Funktionsgleichung der Funktion $f$.

[zur Kontrolle: $f(t) \approx 0{,}080 \cdot \mathrm{e}^{0{,}402 \cdot t}$]

[4 BE]

2.2

Erläutern Sie die Bedeutung des Wertes $a \approx 0{,}080$ im Sachzusammenhang und berechnen Sie unter Verwendung der Funktion $f$ aus Aufgabe 2.1 den prozentualen Zuwachs des Bestandes pro Tag.

[4 BE]

%

In einem Labor wird das Wachstum einer Population von Mikroorganismen untersucht. Die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) protokolliert. In der folgenden Tabelle sind diese Werte dargestellt.

Zeit $t$ in Tagen · 3 · 5 · 8 · 10 · 12 · 15 · 17 · 19

Anzahl in Hundert · 0,2 · 0,6 · 2,4 · 5,4 · 10,0 · 16,4 · 18,5 · 19,4

3 Ab dem Zeitpunkt $t = 12$ wird der Bestand näherungsweise mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t) = 20 - b \cdot \mathrm{e}^{c \cdot t}$ ($b, c \in \mathbb{R}$) modelliert. Hierbei gibt $g(t)$ die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) und $t$ die Zeit (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) an.

Bestimmen Sie die Parameter $b$ und $c$ so, dass die Graphen von $f$ und $g$ an der Stelle $t = 12$ ohne Sprung und ohne Knick ineinander übergehen. [6 BE]

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe der Funktion $h$ mit $$h(t) = \frac{100}{5 + e^{-0,5\cdot t + 7,6}}$$

modelliert werden.

Material

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.1

Prüfen Sie unter Verwendung der Wertetabelle von $h$ aus dem Material, ob die Funktion $h$ zur Modellierung des Bestandes geeignet ist.

[2 BE]

4.4

Berechnen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) gemäß der Modellierung mit der Funktion $h$ den Wert $17$ übersteigt.

[4 BE]

4.6

Der Grenzwert von $h$ für $t \to \infty$ beträgt $20$. Begründen Sie diesen Wert anhand des Funktionsterms und erläutern Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang.

[3 BE]

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe der Funktion $h$ mit $$h(t) = \frac{100}{5 + e^{-0,5\cdot t + 7,6}}$$

modelliert werden.

Material

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.2

Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Wachstumsrate der Mikroorganismen größer oder gleich 200 Mikroorganismen pro Tag beträgt.

Tage

Tage

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe der Funktion $h$ mit $$h(t) = \frac{100}{5 + e^{-0,5\cdot t + 7,6}}$$

modelliert werden.

Material

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.3

Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$-Achse im Intervall $[3; 19]$ einschließt, soll näherungsweise bestimmt werden. Im Folgenden bezeichne $O_4$ die Obersumme bei Unterteilung des Intervalls in vier Abschnitte gleicher Breite, $U_4$ die entsprechende Untersumme.

Zur Berechnung des Näherungswerts für den Inhalt der Fläche soll der folgende Ansatz verwendet werden:

$$A_4 = \frac{O_4 + U_4}{2}$$

Erläutern Sie den Ansatz zur Berechnung von $A_4$ und bestimmen Sie das Ergebnis rechnerisch.

[5 BE]

4.5

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$-Achse im Intervall $[3; 19]$ einschließt.

Nennen Sie eine Möglichkeit, den Flächeninhalt durch Veränderung des Ansatzes aus Aufgabe 4.3 besser anzunähern.

[3 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem Park steht ein Pyramidenstumpf, der als Klettermöglichkeit dient und als Boulderblock bezeichnet wird. Auf den vier Seitenwänden sind Kletterrouten geschraubt. Das umliegende ebene Gelände (Boden) liegt im Modell in der x-y-Ebene. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Im Modell sind die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ die Eckpunkte der quadratischen Bodenfläche des Pyramidenstumpfs. Die Punkte $E(5|0|3)$, $F(5|5|3)$, $G(0|5|3)$ und $H(0|0|3)$ sind die Eckpunkte der parallel zur Bodenfläche verlaufenden, ebenfalls quadratischen Fläche (Material).

Material

1.1

Die Seitenwand $BCGF$ liegt in der Ebene $W$. Geben Sie eine Parametergleichung dieser Ebene an und bestimmen Sie eine zugehörige Koordinatengleichung.

[zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung lautet $W: 3y - z = 12$]

1.5

Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Spitze $S$ der zu dem Stumpf $ABCDEFGH$ gehörenden Pyramide auf der negativen $z$-Achse liegt, also die Koordinaten $S(0|0|-k)$ besitzt, und bestimmen Sie $k$.

1.7

Gegeben sind die Gleichungen zweier Ebenen:

$(1)\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix};\quad t, u \in \mathbb{R}\qquad\qquad (2)\ x - y = 0$

Eine dieser Ebenen ist die Symmetrieebene des Pyramidenstumpfs, die andere Ebene enthält eine der Seitenwände. Geben Sie an, welche der beiden Ebenen die Symmetrieebene ist, und beschreiben Sie ihre besondere Lage im Koordinatensystem.

Geben Sie die Seitenwand an, die in der anderen Ebene enthalten ist.

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem Park steht ein Pyramidenstumpf, der als Klettermöglichkeit dient und als Boulderblock bezeichnet wird. Auf den vier Seitenwänden sind Kletterrouten geschraubt. Das umliegende ebene Gelände (Boden) liegt im Modell in der x-y-Ebene. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Im Modell sind die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ die Eckpunkte der quadratischen Bodenfläche des Pyramidenstumpfs. Die Punkte $E(5|0|3)$, $F(5|5|3)$, $G(0|5|3)$ und $H(0|0|3)$ sind die Eckpunkte der parallel zur Bodenfläche verlaufenden, ebenfalls quadratischen Fläche (Material).

Material

1.2

Berechnen Sie den Neigungswinkel $\alpha$ der Seitenwand BCGF gegenüber dem Boden (Material).

°

1.3

Die Seitenwand BCGF ist ein Trapez und soll einen neuen Farbanstrich bekommen.

Zeigen Sie, dass die Seitenwand BCGF im Punkt C einen rechten Winkel besitzt, und berechnen Sie auf ganze Liter gerundet, wie viel Liter Farbe benötigt werden, wenn ein Liter Farbe für $8\text{ m}^2$ ausreicht.

Liter

1.4

Im Punkt F ist ein Seil befestigt, das senkrecht nach unten hängt und den Boden berührt.

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Kante $\overline{\text{BF}}$ länger ist als das Seil.

%

1.6

Das Volumen des Pyramidenstumpfs in Abhängigkeit vom Parameter $k$ lässt sich mithilfe des folgenden Ansatzes ermitteln:

$$\frac{1}{3} \cdot 5^2 \cdot (3+k) - \frac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot k$$

Erläutern Sie diesen Ansatz.

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem Park steht ein Pyramidenstumpf, der als Klettermöglichkeit dient und als Boulderblock bezeichnet wird. Auf den vier Seitenwänden sind Kletterrouten geschraubt. Das umliegende ebene Gelände (Boden) liegt im Modell in der x-y-Ebene. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Im Modell sind die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ die Eckpunkte der quadratischen Bodenfläche des Pyramidenstumpfs. Die Punkte $E(5|0|3)$, $F(5|5|3)$, $G(0|5|3)$ und $H(0|0|3)$ sind die Eckpunkte der parallel zur Bodenfläche verlaufenden, ebenfalls quadratischen Fläche (Material).

Material

Im Punkt $K(4|-4|2)$ befindet sich der höchste Punkt des Kopfes eines Kletterers, der neben dem Boulderblock steht. Die Sonne scheint zu einem bestimmten Zeitpunkt in Richtung des Vektors$$\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}$$

2.1

Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes $K'$, der vom Punkt $K$ auf die Seitenwand $DAEH$ geworfen wird.

$K'($ $|$ $|$)

2.2

Die Füße eines anderen, $1{,}80\text{ m}$ großen Kletterers befinden sich im Punkt $N(3|4{,}5|0)$.

Untersuchen Sie, ob er dort aufrecht stehen kann.

Ja

Nein

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer. Weiterhin haben $10\,\%$ der Pakete das Ziel A und $7\,\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Material

In einem Paketzentrum werden pro Jahr viele Millionen Pakete angeliefert. Die Pakete werden automatisch nach ihrem Bestimmungsort sortiert. 10 % der Pakete haben das Ziel A, 7 % das Ziel B. Die übrigen Pakete haben andere Ziele.

1.1

Bestimmen Sie unter Angabe einer geeigneten Zufallsvariablen X die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 zufällig ausgewählten Paketen

- genau neun das Ziel B haben,

- weniger als neun das Ziel B haben.

1.2

Unter 100 zufällig ausgewählten Paketen haben genau neun das Ziel B.

Berechnen Sie die prozentuale Abweichung dieser Anzahl vom Erwartungswert für die Anzahl von Paketen mit dem Ziel B unter 100 zufällig ausgewählten Paketen.

1.3

Im Paketzentrum werden 20 Pakete zufällig ausgewählt.

1.3.1

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 20 ausgewählten Paketen keines das Ziel C hat, beträgt etwa 54 %. Berechnen Sie den Anteil der Pakete mit dem Ziel C unter allen Paketen, die pro Jahr im Paketzentrum angeliefert werden.

1.3.2

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang kann mit dem Term

$$0{,}9^{14} \cdot \sum_{i=0}^3 \binom{6}{i} \cdot 0{,}1^i \cdot 0{,}9^{6-i}$$

berechnet werden. Geben Sie ein passendes Ereignis an.

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer. Weiterhin haben $10\,\%$ der Pakete das Ziel A und $7\,\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Material

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\,\mathrm{kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\%$ schwer. Weiterhin haben $10\%$ der Pakete das Ziel A und $7\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

S: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

Z: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

2.1

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

$S$

$\bar{S}$

Total

$Z$

$\bar{Z}$

Total

2.2

Untersuchen Sie, ob der Anteil der Pakete mit dem Ziel A unter den schweren Paketen ebenso groß ist wie unter den Paketen, die nicht schwer sind.

2.3

Von den Paketen, die das Ziel B haben, sind $2\%$ schwer. Entscheiden Sie, ob der Anteil der schweren Pakete unter denjenigen, die weder das Ziel A noch das Ziel B haben, kleiner als $5\%$, gleich $5\%$ oder größer als $5\%$ ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung, ohne diesen Anteil zu berechnen.

2.4

Im Paketzentrum wird ein schweres Paket zufällig ausgewählt und in einen Lkw verladen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um ein Paket handelt, das nicht das Ziel A hat.

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer. Weiterhin haben $10\,\%$ der Pakete das Ziel A und $7\,\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Material

2.5

Im Rahmen der Sortierung werden die Pakete in zufälliger Reihenfolge ausgewählt und gewogen.

Berechnen Sie die Anzahl der Pakete, die mindestens gewogen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ mindestens ein schweres Paket darunter ist. [4 BE]

2.6

Die Zufallsgröße $Y$ gibt die Anzahl der schweren Pakete unter insgesamt $n$ zufällig ausgewählten Paketen an. Im Material ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ für einen bestimmten Wert von $n$ dargestellt. Hierbei ist der Erwartungswert $\mu$ eine natürliche Zahl. [5 BE]

Bestätigen Sie mithilfe des Materials, dass $P(10 \le Y \le 12) < 0{,}4$ gilt. [2 BE]

Bestimmen Sie die Gesamtzahl $n$ der Pakete. [3 BE]

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer. Weiterhin haben $10\,\%$ der Pakete das Ziel A und $7\,\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Material

Auf einem Rollcontainer befinden sich 100 Pakete, darunter 30 Pakete für den Eulerplatz, 45 Pakete für die Gaußstraße und 25 Pakete für den Leibnizweg. Die Pakete sind im Container zufällig angeordnet.

Ein Paketzusteller lädt 5 Pakete vom Container; darunter befinden sich 3 Pakete für den Eulerplatz und 2 Pakete für den Leibnizweg. Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis werden 4 Ansätze aufgestellt.

Entscheiden Sie für jeden der Ansätze, ob er richtig oder falsch ist, und begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung.

(1) $$\frac{25}{100} \cdot \frac{24}{99} \cdot \frac{30}{98} \cdot \frac{29}{97} \cdot \frac{28}{96}$$

Beurteilung:

(2) $$\frac{\displaystyle\binom{30}{3} \cdot \binom{25}{2}}{\displaystyle\binom{100}{5}}$$

Beurteilung:

(3) $$10 \cdot \frac{30}{100} \cdot \frac{29}{99} \cdot \frac{28}{98} \cdot \frac{25}{97} \cdot \frac{24}{96}$$

Beurteilung:

(4) $$\binom{5}{3} \cdot 0{,}3^3 \cdot 0{,}25^2$$

Beurteilung:

Mehr als 200 Millionen ausrangierte Handys und Smartphones (im Folgenden als Alt-Handys bezeichnet) lagern in deutschen Wohnungen, ob als Ersatzgerät oder wegen der vielen gespeicherten Fotos.

Vor einem Einkaufszentrum werden Personen ab 16 Jahren zufällig ausgewählt und befragt, wie viele Alt-Handys sie besitzen. Es soll davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der befragten Personen, die angeben, drei und mehr Alt-Handys, zwei Alt-Handys, ein Alt-Handy, kein Alt-Handy oder kein Handy zu besitzen, jeweils durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann. Die im Material 1 angegebenen prozentualen Anteile sollen als Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden.

Material 1

Hinweise: 1% der Befragten machte keine Angaben. Befragte, die angeben, kein Alt-Handy zu besitzen, nutzen noch ihr erstes Handy.

URL: https://www.bitkom.org/Presse/Presseinformation/Mehr-als-200-Millionen-Alt-Handys-lagern-in-deutschen-Wohnungen (abgerufen am 04.06.2021).

Vor einem Einkaufszentrum werden Personen ab 16 Jahren zufällig ausgewählt und befragt, wie viele Alt-Handys sie besitzen. Es soll davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der befragten Personen, die angeben, drei und mehr Alt-Handys, zwei Alt-Handys, ein Alt-Handy, kein Alt-Handy oder kein Handy zu besitzen, jeweils durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann. Die im Material 1 angegebenen prozentualen Anteile sollen als Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden.

1.1

Es werden 80 Personen befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

1.2

Geben Sie den Wert des Terms $\binom{80}{35}\cdot 0{,}57^{35}\cdot 0{,}43^{45}$ an und erklären Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang.

1.3

Berechnen Sie, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $85\,\%$ mindestens eine Person darunter befindet, die angibt, kein Alt-Handy zu besitzen.

$16\,\%$ der Deutschen ab $16$ Jahren heben ihre Alt-Handys ausnahmslos auf. Für eine Studie werden $1120$ Frauen ab $16$ Jahren und $952$ Männer derselben Altersgruppe zufällig ausgewählt und telefonisch befragt. $1612$ Personen, darunter $742$ Männer, geben an, dass sie ihre Alt-Handys nicht ausnahmslos aufheben.

Eine der befragten Personen wird zufällig ausgewählt und folgende Ereignisse werden betrachtet:

$W$: „Die Person ist weiblich.“

$A$: „Die Person gibt an, dass sie ihre Alt-Handys ausnahmslos aufhebt.“

Material 2

· $A$ · $\overline{A}$ · $\Sigma$

$W$

$\overline{W}$

$\Sigma$

2.1

Der Sachverhalt soll tabellarisch dargestellt werden.

Geben Sie die fehlenden Werte in der Tabelle in Material 2 an.

$A$

$\overline{A}$

$\sum$

$W$

$\overline{W}$

$\sum$

Entscheiden Sie begründet, ob der prozentuale Anteil der in der Studie befragten Personen, die angeben, ihre Alt-Handys ausnahmslos aufzuheben, dem Bundesdurchschnitt entspricht.

2.2

Die Terme $P_W(A)$ und $P(W \cap A)$ bezeichnen Wahrscheinlichkeiten.

Beschreiben Sie die Bedeutung der Terme im Sachzusammenhang.

2.3

Untersuchen Sie, ob die Wahrscheinlichkeiten $P_{\overline{A}}(W)$ und $P(W)$ übereinstimmen.

Deuten Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer. Weiterhin haben $10\,\%$ der Pakete das Ziel A und $7\,\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Material

Eine Firma ist darauf spezialisiert, gebrauchte Smartphones, die von ihr generalüberholt, gereinigt und geprüft werden, weiter zu verkaufen. Ein Zwischenhändler bietet der Firma in einer Großlieferung gebrauchte Smartphones zu einem sehr günstigen Preis an. Erfahrungsgemäß sind $20\,\%$ der Geräte dieses Zwischenhändlers so stark beschädigt, dass sie von der Firma nicht mehr verwertet werden können.

3.1

Ein Ankauf beim Zwischenhändler lohnt sich für die Firma nur, wenn bei einer Großlieferung im Mittel mindestens $5000$ verwertbare Smartphones dabei sind.

In diesem Zusammenhang wird folgende Überlegung angestellt:

(1) $(5000 + k) \cdot 0{,}2 = k \quad (k > 0)$

(2) $\dots \iff k = 1250$

(3) $y \ge 6250$

Erläutern Sie den Ansatz in Zeile (1) im Sachzusammenhang. Geben Sie in Zeile (2) die durch Auslassungspunkte gekennzeichnete fehlende Berechnung an. Erklären Sie das Ergebnis in Zeile (3) im Sachzusammenhang. [5 BE]

3.2

Die Firma überprüft zufällig ausgewählte Smartphones der Großlieferung des Zwischenhändlers. Die Zufallsgröße $Z$ beschreibe die Anzahl der verwertbaren Geräte.

Wenn $\mu$ der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße $Z$ ist und $\sigma$ die zugehörige Standardabweichung, dann gilt für $\sigma > 3$: $\mathrm{P}(\mu - 2\sigma \le Z \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}95$.

3.2.1

Berechnen Sie, wie viele Geräte mindestens überprüft werden müssen, damit die Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist. [2 BE]

3.2.2

Die Firma überprüft $500$ Geräte. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{P}(\mu - 2\sigma \le Z \le \mu + 2\sigma)$ auf vier Nachkommastellen genau. [4 BE]