Aufgabe Vorschlag C2 - 3 · Abitur Hessen Mathematik LK · Schulen für Erwachsene 2022

3.1 Kritischer Wert k für den Ablehnungsbereich:

Lösung: 55

3.1 Formulieren Sie eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang. Entscheiden Sie, ob davon auszugehen ist, dass der Anteil der Vegetarier gestiegen ist.

Lösung: Wenn in der Stichprobe mindestens 55 Personen angeben, Vegetarier zu sein, wird davon ausgegangen, dass der Anteil der Vegetarier gestiegen ist (H0 wird verworfen). Da bei der Befragung 57 Personen angeben, Vegetarier zu sein, wird H0 verworfen und es wird davon ausgegangen, dass der Anteil der Vegetarier gestiegen ist.

3.2 Erläutern Sie die Fehler 1. und 2. Art und deren mögliche Konsequenzen im Sachzusammenhang.

Lösung: Fehler 1. Art: Die Nullhypothese H0 wird verworfen, obwohl sie gilt. Der Betreiber der Kantine nimmt fälschlicherweise an, dass sich der Anteil der Vegetarier erhöht hat, und bietet mehr vegetarische Gerichte an, obwohl die Nachfrage nicht gestiegen ist. Fehler 2. Art: Die Nullhypothese H0 wird beibehalten, obwohl sie falsch ist. Der Betreiber nimmt fälschlicherweise an, dass sich der Anteil der Vegetarier nicht erhöht hat, und bietet weiter gleich viele vegetarische Gerichte an. Dies könnte dazu führen, dass die vegetarischen Gerichte nicht ausreichen, um den Bedarf zu decken.

3.3 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn sich der Anteil der Vegetarier tatsächlich auf 40 % erhöht hat.

Lösung: 0,1799 / 17,99 % / 0,18 / 18 %

3.4 Begründen Sie die Lage des Maximums der zu p1 = 0,4 gehörigen Verteilung.

Lösung: Das Maximum der Verteilung liegt beim Erwartungswert E(X) = 150 · 0,4 = 60.

3.4 Zeichnen Sie die Fläche ein, deren Inhalt ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art darstellt, wobei die Annahme aus Aufgabe 3.3 weiterhin zugrunde gelegt wird.

Lösung: Die Fläche unter der Kurve für $p_1 = 0{,}4$ im Annahmebereich von $H_0$, also für $k = 0$ bis $k = 54$, wird schraffiert.

3.5 Erläutern Sie anhand des Diagramms in Material 2, wie sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art entwickelt, wenn der tatsächliche Anteil p der Vegetarier von 40 % kontinuierlich bis auf 100 % steigt. Begründen Sie, dass für p <= 0,3 die Wahrscheinlichkeit, H0 beizubehalten, mindestens 95,29 % ist, wenn beim Hypothesentest aus Aufgabe 3.1 die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art höchstens 4,71 % beträgt. Begründen Sie, warum man für p <= 0,3 den Fehler 2. Art nicht begehen kann.

Lösung: Wenn p kontinuierlich von 40 % bis auf 100 % steigt, so verschiebt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung immer weiter nach rechts. Da der Annahmebereich der Nullhypothese gleich bleibt, wird der im Annahmebereich liegende Flächenanteil der zu p gehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung immer kleiner und somit die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art immer kleiner. Wenn die Anzahl der Befragten, die angeben, Vegetarier zu sein, im Annahmebereich liegt, wird H0 beibehalten. Für p = p0 = 0,3 beträgt die Wahrscheinlichkeit hierfür 100 % - 4,71 % = 95,29 %. Ist p < 0,3, so liegt die Wahrscheinlichkeitsverteilung weiter links als die Verteilung zu p0, so dass der im Annahmebereich liegende Flächenanteil größer wird und damit die entsprechende Wahrscheinlichkeit stets über 95,29 % liegt. Den Fehler 2. Art kann man in diesem Fall nicht begehen, da die Nullhypothese H0 wahr ist.