Abitur Hessen Mathematik 2022 · LK · Teil A · Analytische Geometrie

1 Aufgabe

Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $E: 3x_1 - x_3 = -2$.

a

Begründen Sie, dass $g$ senkrecht zu $E$ steht.

b

Die Gerade $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$ hat mit $E$ keinen gemeinsamen Punkt. Es gibt Geraden, die in $E$ liegen und parallel zu $h$ verlaufen. Bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen dieser Geraden, die von $h$ den kleinsten Abstand hat.

Wird der Punkt $P(1|2|3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(7|2|11)$.

a

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

b

Auf der Gerade durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E$; dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$. Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $R$.

Gegeben sind die Punkte $A(-5 \mid 5 \mid -3)$ und $B(-1 \mid 1 \mid -1)$. Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AB}$ an und bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$, die parallel zur $x_1x_3$-Ebene verläuft.

Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat $ABCD$. Die Gerade $g$, die durch $B$ und den Mittelpunkt $M$ der Seite $\overline{AD}$ verläuft, hat den Richtungsvektor $\vec{v}$. Der Punkt $F$ ist der Fußpunkt des Lots von $A$ auf $g$.

a

Begründen Sie, dass $|\vec{BF}| = 2\cdot |\vec{AF}|$ gilt. [3 BE]

b

Geben Sie einen Term an, mit dem man die Koordinaten von B bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von A und F sowie die Komponenten von $\vec{v}$ bekannt wären. [2 BE]

Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat $ABCD$. Die Gerade $g$, die durch $B$ und den Mittelpunkt $M$ der Seite $\overline{AD}$ verläuft, hat den Richtungsvektor $\vec{v}$. Der Punkt $F$ ist der Fußpunkt des Lots von $A$ auf $g$.

a

Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar die Gerade $h$ enthalten.

[2 BE]

b

Der Vektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist ein Richtungsvektor einer Ebene der Schar. Diese Ebene wird mit $E$ bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Würde man $E$ in der Abbildung darstellen, so würde die Darstellung von $E$ mit der Darstellung von $h$ übereinstimmen.

[3 BE]