Abitur Hessen Mathematik 2022 · GK · WTR

Analysis – Niveau 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{2}$. Der Graph von $f$ ist in der Abbildung im Material dargestellt.

Material

1.1

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse im Intervall $[0;2]$ näherungsweise durch den Flächeninhalt der im Material eingezeichneten Rechtecke. [2 BE]

1.2

Berechnen Sie den exakten Wert des Inhalts der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse im Intervall $[0;2]$. [2 BE]

1.3

Lea ist der Meinung, dass die Näherung sehr ungenau ist. Sie behauptet: „Der Näherungswert aus Aufgabe 1.1 weicht um mehr als $30\,\%$ vom exakten Wert aus Aufgabe 1.2 ab.“

Geben Sie an, ob Leas Behauptung wahr oder falsch ist. [1 BE]

wahr

falsch

Stochastik – Niveau 1

2 Zwei Schützen zielen auf eine Scheibe.

2.1

Schütze 1 trifft die Scheibe mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von $p_1 = \frac{2}{3}$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er bei drei Schüssen die Scheibe mindestens zweimal trifft.

(3 BE)

2.2

Bei Schütze 2 beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er bei zwei Schüssen die Scheibe beide Male trifft, $\frac{9}{25}$. Bestimmen Sie seine Trefferwahrscheinlichkeit $p_2$.

(2 BE)

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 1

3 In einem mathematischen Modell wird im Punkt $A(1|-3|0)$ senkrecht zum Erdboden ein $10\text{ Meter}$ hoher Fahnenmast errichtet. Der Erdboden befindet sich in der x-y-Ebene, wobei eine Längeneinheit einem Meter entspricht. Die Koordinaten des Schattenpunktes $S$ der Mastspitze auf dem Boden zu einem bestimmten Zeitpunkt lauten $S(9|3|0)$.

3.1

Berechnen Sie die Länge des Schattens des Fahnenmastes auf dem Boden. (2 BE)

3.2

Ermitteln Sie einen Vektor, der die Richtung der Sonnenstrahlen beschreibt. (2 BE)

$\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =$

3.3

Zu einem anderen Zeitpunkt ändert sich die z-Koordinate des Sonnenstrahlvektors bei gleichbleibender x- und y-Koordinate so, dass der Schatten des Fahnenmastes auf dem Boden länger wird. Geben Sie ein mögliches Beispiel für einen solchen Sonnenstrahlvektor an. (1 BE)

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 2

Die Positionen zweier hier vereinfachend als punktförmig angenommener Rettungshubschrauber 1 und 2 können während ihrer gleichzeitig stattfindenden Flüge im Zeitraum $0 \le t \le 4$ durch die Koordinaten $\mathrm{H}_1(2t + 4 \mid 2t + 5 \mid 0{,}3)$ und $\mathrm{H}_2(3t + 4 \mid 2t + 2 \mid 0{,}3)$ beschrieben werden, wobei eine Längeneinheit $1\text{ km}$ entspricht und $t$ die Zeit in Minuten angibt.

4.1

Die beiden Rettungshubschrauber bewegen sich im betrachteten Zeitraum auf geradlinigen Flugrouten. Geben Sie die entsprechende Geradengleichung für Hubschrauber 1 an.

$g: \vec{x} =$

$+\ t \cdot$

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 2

Die Positionen zweier hier vereinfachend als punktförmig angenommener Rettungshubschrauber 1 und 2 können während ihrer gleichzeitig stattfindenden Flüge im Zeitraum $0 \le t \le 4$ durch die Koordinaten $\mathrm{H}_1(2t + 4 \mid 2t + 5 \mid 0{,}3)$ und $\mathrm{H}_2(3t + 4 \mid 2t + 2 \mid 0{,}3)$ beschrieben werden, wobei eine Längeneinheit $1\text{ km}$ entspricht und $t$ die Zeit in Minuten angibt.

4.2

Leiten Sie die Formel $d = \sqrt{t^2 + 9}$ für den Abstand der beiden Hubschrauber in Abhängigkeit von der Zeit $t$ her. (2 BE)

4.3

Begründen Sie mithilfe der Formel aus Aufgabe 4.2 ohne weitere Rechnung, zu welchem Zeitpunkt der Abstand der beiden Hubschrauber im betrachteten Zeitraum maximal ist. (2 BE)

$t =$

Minuten

Die Geschwindigkeit eines Läufers auf einem Laufband soll für $t \ge 0$ mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + 2t^2$ beschrieben werden ($t$: Zeit in Minuten, $g(t)$: Geschwindigkeit in Kilometern pro Minute). Der Graph von $g$ ist ausschnittsweise in Material 1 dargestellt.

Material 1

1.1

Berechnen Sie die Nullstellen von $g$ sowie die Art und die Lage der Extrempunkte des Graphen von $g$.

Beschriften Sie die Koordinatenachsen in Material 1 mit einer geeigneten Skala. [9 BE]

$t_1 =$

und $t_2 =$

$t_H =$

, $y_H =$

$T_1($

$\mid$

$)$ und $T_2($

$\mid$

$)$

1. Markierung $t$-Achse:

1. Markierung $y$-Achse:

1.2

Erläutern Sie die Bedeutung des Hochpunktes sowie die Bedeutung des Terms $\frac{g(1)-g(0{,}5)}{1-0{,}5}$ jeweils im Sachzusammenhang. [4 BE]

Die Geschwindigkeit eines Läufers auf einem Laufband soll für $t \ge 0$ mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + 2t^2$ beschrieben werden ($t$: Zeit in Minuten, $g(t)$: Geschwindigkeit in Kilometern pro Minute). Der Graph von $g$ ist ausschnittsweise in Material 1 dargestellt.

Material 1

1.3

Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion $g'$ in das Koordinatensystem in Material 1.

Erläutern Sie zudem die Bedeutung von $g'$ im Sachzusammenhang. [4 BE]

Die Geschwindigkeit eines Läufers auf einem Laufband soll für $t \ge 0$ mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + 2t^2$ beschrieben werden ($t$: Zeit in Minuten, $g(t)$: Geschwindigkeit in Kilometern pro Minute). Der Graph von $g$ ist ausschnittsweise in Material 1 dargestellt.

Material 1

1.4

Berechnen Sie die Länge des Weges in Metern, den der Läufer in den ersten zwei Minuten auf dem Laufband zurücklegt. [4 BE]

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + (2 - 0{,}5a)t^2 + at$ (mit $a \ge 0$).

Die Graphen einiger Funktionen der Schar sind in Material 2 dargestellt, darunter auch der Graph der zur Schar gehörenden Funktion $g$ aus Aufgabe 1 mit $g = f_0$.

Die Hochpunkte der Funktionenschar haben die Koordinaten $H_a(1 \mid 0{,}5a + 0{,}5)$.

Material 2

2.1

Ordnen Sie die Parameter $a = 1$ und $a = 2$ begründet jeweils einem der Graphen $u$, $v$ und $w$ in Material 2 zu.

Beschreiben Sie anhand von Material 2 die Bedeutung des Parameters $a$ für die Lage der Hochpunkte.

[6 BE]

Graph für $a = 1$:

Graph für $a = 2$:

2.3

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Wendestellen von $f_a$ gilt: $t_{1/2} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4-a}{6}}$.

Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $a$, für den die beiden Nullstellen bei $t = 0$ und $t = 2$ gleichzeitig auch die Wendestellen von $f_a$ sind.

[5 BE]

$a =$

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + (2 - 0{,}5a)t^2 + at$ (mit $a \ge 0$).

Die Graphen einiger Funktionen der Schar sind in Material 2 dargestellt, darunter auch der Graph der zur Schar gehörenden Funktion $g$ aus Aufgabe 1 mit $g = f_0$.

Die Hochpunkte der Funktionenschar haben die Koordinaten $H_a(1 \mid 0{,}5a + 0{,}5)$.

Material 2

2.2

Skizzieren Sie in Material 2 die Tangente an den Hochpunkt des Graphen von $f_0$.

Beschreiben Sie, wie man den Inhalt der Fläche bestimmen kann, die zwischen dieser Tangente und dem Graphen von $f_0$ eingeschlossen ist. [4 BE]

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = 0{,}5t^4 - 2t^3 + (2 - 0{,}5a)t^2 + at$ (mit $a \ge 0$).

Die Graphen einiger Funktionen der Schar sind in Material 2 dargestellt, darunter auch der Graph der zur Schar gehörenden Funktion $g$ aus Aufgabe 1 mit $g = f_0$.

Die Hochpunkte der Funktionenschar haben die Koordinaten $H_a(1 \mid 0{,}5a + 0{,}5)$.

Material 2

2.4 Nachfolgend sind einige Termumformungen angegeben, mithilfe derer der Funktionsterm von $f_a$ als Differenz des Funktionsterms von $f_0$ und des Terms einer Funktionenschar $p_a$ dargestellt werden kann.

Erläutern Sie die von Zeile (II) zu Zeile (III) durchgeführten Umformungen.

Begründen Sie anhand des Funktionsterms von $p_a$ in Zeile (III) die Lage der Nullstellen von $p_a$.

$\begin{aligned}

\text{(I)} \quad f_a(t) &= 0{,}5t^4 - 2t^3 + (2 - 0{,}5a)t^2 + at \\[4pt]

\text{(II)} \quad\phantom{f_a(t)} &= 0{,}5\cdot(t^4 - 4t^3 + 4t^2) - 0{,}5a\cdot(t^2 - 2t) \\[4pt]

\text{(III)} \quad\phantom{f_a(t)} &= \underbrace{0{,}5\cdot(t^2\cdot(t-2)^2)}_{f_0(t)} - \underbrace{0{,}5a\cdot(t\cdot(t-2))}_{p_a(t)}

\end{aligned}$

a)

b)

In einem Labor wird das Wachstum einer Population von Mikroorganismen untersucht. Die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) protokolliert. In der folgenden Tabelle sind diese Werte dargestellt.

Zeit $t$ in Tagen · 3 · 5 · 8 · 10 · 12 · 15 · 17 · 19

Anzahl in Hundert · 0,2 · 0,6 · 2,4 · 5,4 · 10,0 · 16,4 · 18,5 · 19,4

1

Stellen Sie die Datenpaare der Tabelle in einem geeigneten Koordinatensystem grafisch dar und beschreiben Sie den Verlauf des Bestandes der Population in den ersten 19 Tagen.

[5 BE]

Der Bestand lässt sich bis zum Ende des zwölften Tags durch eine Exponentialfunktion $f$ der Form $f(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ modellieren. Hierbei gibt $f(t)$ die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) und $t$ die Zeit (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) an.

2.1

Berechnen Sie mithilfe der Datenpaare der Tabelle für $t = 5$ und $t = 12$ eine Funktionsgleichung der Funktion $f$.

[zur Kontrolle: $f(t) \approx 0{,}080 \cdot e^{0{,}402 \cdot t}$]

[4 BE]

2.2

Erläutern Sie die Bedeutung des Wertes $a \approx 0{,}080$ im Sachzusammenhang und berechnen Sie unter Verwendung der Funktion $f$ aus Aufgabe 2.1 den prozentualen Zuwachs des Bestandes pro Tag.

[4 BE]

In einem Labor wird das Wachstum einer Population von Mikroorganismen untersucht. Die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) protokolliert. In der folgenden Tabelle sind diese Werte dargestellt.

Zeit $t$ in Tagen · 3 · 5 · 8 · 10 · 12 · 15 · 17 · 19

Anzahl in Hundert · 0,2 · 0,6 · 2,4 · 5,4 · 10,0 · 16,4 · 18,5 · 19,4

Ab dem Zeitpunkt $t = 12$ wird der Bestand näherungsweise mithilfe der Funktion $g$ mit

$$g(t) = 20 - 1243{,}363 \cdot e^{-0{,}402 \cdot t}$$

modelliert. Hierbei gibt $g(t)$ die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) und $t$ die Zeit (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) an.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen von $f$ und $g$ an der Stelle $t = 12$ bei Rundung auf eine Nachkommastelle ohne Sprung und ohne Knick ineinander übergehen.

(6 BE)

a)

b)

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe einer Funktion $h$ modelliert werden. Der Graph von $h$ ist im Material angegeben.

Material

Graph und Wertetabelle der Funktion $h$

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.1

Begründen Sie unter Verwendung der Wertetabelle von $h$ aus dem Material, dass die Funktion $h$ zur Modellierung des Bestandes geeignet ist.

[2 BE]

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe einer Funktion $h$ modelliert werden. Der Graph von $h$ ist im Material angegeben.

Material

Graph und Wertetabelle der Funktion $h$

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.2 Erläutern Sie die Bedeutung der Ableitungsfunktion $h'$ im Sachzusammenhang und erklären Sie die Zeilen (1) und (2) im Sachzusammenhang. [4 BE]

$$\begin{aligned} (1) &\quad h'(t) = 2 \;\Rightarrow\; t_1 \approx 10;\; t_2 \approx 14 \\ (2) &\quad h'(t) \ge 2 \text{ für alle } t \in [10; 14] \end{aligned}$$

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe einer Funktion $h$ modelliert werden. Der Graph von $h$ ist im Material angegeben.

Material

Graph und Wertetabelle der Funktion $h$

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.3

Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$-Achse im Intervall $[3; 19]$ einschließt, soll näherungsweise bestimmt werden. Im Folgenden bezeichne $O_4$ die Obersumme bei Unterteilung des Intervalls in vier Abschnitte gleicher Breite, $U_4$ die entsprechende Untersumme. Als Näherungswert für den Inhalt der Fläche erhält man

$$A_4 = \frac{O_4 + U_4}{2} = 141{,}32$$

Erläutern Sie den Ansatz zur Berechnung von $A_4$ und bestätigen Sie das Ergebnis durch eine Rechnung unter Verwendung der Wertetabelle aus dem Material.

[5 BE]

4.4.2

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$-Achse im Intervall $[3; 19]$ einschließt.

[2 BE]

Nennen Sie eine Möglichkeit, den Flächeninhalt durch Veränderung des Ansatzes aus Aufgabe 4.3 besser anzunähern.

[1 BE]

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe einer Funktion $h$ modelliert werden. Der Graph von $h$ ist im Material angegeben.

Material

Graph und Wertetabelle der Funktion $h$

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

Die Funktionsgleichung von $h$ lautet: $$h(t) = \frac{100}{5 + e^{-0{,}5t + 7{,}6}}$$

4.4.1

Berechnen Sie den Zeitpunkt, ab dem die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) gemäß der Modellierung mit der Funktion $h$ den Wert 17 übersteigt. [4 BE]

4.4.3

Der Grenzwert von $h$ für $t \to \infty$ beträgt 20. Begründen Sie diesen Wert anhand des Funktionsterms und erläutern Sie die Bedeutung dieses Wertes im Sachzusammenhang. [3 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem Park steht ein Pyramidenstumpf, der als Klettermöglichkeit dient und als Boulderblock bezeichnet wird. Auf den vier Seitenwänden sind Kletterrouten geschraubt. Das umliegende ebene Gelände (Boden) liegt im Modell in der x-y-Ebene. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Im Modell sind die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ die Eckpunkte der quadratischen Bodenfläche des Pyramidenstumpfs. Die Punkte $E(5|0|3)$, $F(5|5|3)$, $G(0|5|3)$ und $H(0|0|3)$ sind die Eckpunkte der parallel zur Bodenfläche verlaufenden, ebenfalls quadratischen Fläche (Material).

Material

1.1

Die Seitenwand $BCGF$ liegt in der Ebene $W$. Geben Sie eine Parametergleichung dieser Ebene an und bestimmen Sie eine zugehörige Koordinatengleichung.

[zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung lautet $W: 3y - z = 12$]

1.5

Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Spitze $S$ der zu dem Stumpf $ABCDEFGH$ gehörenden Pyramide auf der negativen $z$-Achse liegt, also die Koordinaten $S(0|0|-k)$ besitzt, und bestimmen Sie $k$.

1.7

Gegeben sind die Gleichungen zweier Ebenen:

$$(1)\ \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix};\ t,u \in \mathbb{R} \qquad (2)\ x - y = 0$$

Eine dieser Ebenen ist die Symmetrieebene des Pyramidenstumpfs, die andere Ebene enthält eine der Seitenwände. Geben Sie an, welche der beiden Ebenen die Symmetrieebene ist, und beschreiben Sie ihre besondere Lage im Koordinatensystem.

Geben Sie die Seitenwand an, die in der anderen Ebene enthalten ist.

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem Park steht ein Pyramidenstumpf, der als Klettermöglichkeit dient und als Boulderblock bezeichnet wird. Auf den vier Seitenwänden sind Kletterrouten geschraubt. Das umliegende ebene Gelände (Boden) liegt im Modell in der x-y-Ebene. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Im Modell sind die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ die Eckpunkte der quadratischen Bodenfläche des Pyramidenstumpfs. Die Punkte $E(5|0|3)$, $F(5|5|3)$, $G(0|5|3)$ und $H(0|0|3)$ sind die Eckpunkte der parallel zur Bodenfläche verlaufenden, ebenfalls quadratischen Fläche (Material).

Material

1.2

Berechnen Sie den Neigungswinkel $\alpha$ der Seitenwand BCGF gegenüber dem Boden (Material).

[3 BE]

°

1.3

Die Seitenwand BCGF ist ein Trapez und soll einen neuen Farbanstrich bekommen.

Zeigen Sie, dass die Seitenwand BCGF im Punkt C einen rechten Winkel besitzt, und berechnen Sie auf ganze Liter gerundet, wie viel Liter Farbe benötigt werden, wenn ein Liter Farbe für $8\text{ m}^2$ ausreicht.

[5 BE]

Liter

1.4

Im Punkt F ist ein Seil befestigt, das senkrecht nach unten hängt und den Boden berührt.

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die Kante $\overline{\text{BF}}$ länger ist als das Seil.

[4 BE]

%

1.6

Das Volumen des Pyramidenstumpfs in Abhängigkeit vom Parameter $k$ lässt sich mithilfe des folgenden Ansatzes ermitteln:

$$\frac{1}{3} \cdot 5^2 \cdot (3+k) - \frac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot k$$

Erläutern Sie diesen Ansatz.

[4 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem Park steht ein Pyramidenstumpf, der als Klettermöglichkeit dient und als Boulderblock bezeichnet wird. Auf den vier Seitenwänden sind Kletterrouten geschraubt. Das umliegende ebene Gelände (Boden) liegt im Modell in der x-y-Ebene. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Im Modell sind die Punkte $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ die Eckpunkte der quadratischen Bodenfläche des Pyramidenstumpfs. Die Punkte $E(5|0|3)$, $F(5|5|3)$, $G(0|5|3)$ und $H(0|0|3)$ sind die Eckpunkte der parallel zur Bodenfläche verlaufenden, ebenfalls quadratischen Fläche (Material).

Material

Im Punkt $K(4|-4|2)$ befindet sich der höchste Punkt des Kopfes eines Kletterers, der neben dem Boulderblock steht. Die Sonne scheint zu einem bestimmten Zeitpunkt in Richtung des Vektors $$\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}$$

2.1

Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes $K'$, der vom Punkt $K$ auf die Seitenwand $DAEH$ geworfen wird. (4 BE)

$K'($ $|$ $|$ $)$

2.2

Die Füße eines anderen, $1{,}80\,\mathrm{m}$ großen Kletterers befinden sich im Punkt $N(3|4{,}5|0)$. Untersuchen Sie, ob er dort aufrecht stehen kann. (4 BE)

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer. Weiterhin haben $10\,\%$ der Pakete das Ziel A und $7\,\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Material

1

In einem Paketzentrum werden pro Jahr viele Millionen Pakete angeliefert. Die Pakete werden automatisch nach ihrem Bestimmungsort sortiert. 10% der Pakete haben das Ziel A, 7% das Ziel B. Die übrigen Pakete haben andere Ziele.

1.1

Bestimmen Sie unter Angabe einer geeigneten Zufallsvariablen X die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 zufällig ausgewählten Paketen

- genau neun das Ziel B haben,

- weniger als neun das Ziel B haben.

1.2

Unter 100 zufällig ausgewählten Paketen haben genau neun das Ziel B.

Berechnen Sie die prozentuale Abweichung dieser Anzahl vom Erwartungswert für die Anzahl von Paketen mit dem Ziel B unter 100 zufällig ausgewählten Paketen.

1.3

Im Paketzentrum werden 20 Pakete zufällig ausgewählt.

1.3.1

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 20 ausgewählten Paketen keines das Ziel C hat, beträgt etwa 54%. Berechnen Sie den Anteil der Pakete mit dem Ziel C unter allen Paketen, die pro Jahr im Paketzentrum angeliefert werden.

1.3.2

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang kann mit dem Term

$$0{,}9^{14} \cdot \sum_{i=0}^{3} \binom{6}{i} \cdot 0{,}1^i \cdot 0{,}9^{6-i}$$

berechnet werden. Geben Sie ein passendes Ereignis an.

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer. Weiterhin haben $10\,\%$ der Pakete das Ziel A und $7\,\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Material

2.1

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. [3 BE]

$S$

$\overline{S}$

Gesamt

$Z$

$\overline{Z}$

Gesamt

2.2

Untersuchen Sie, ob der Anteil der Pakete mit dem Ziel A unter den schweren Paketen ebenso groß ist wie unter den Paketen, die nicht schwer sind. [3 BE]

2.3

Von den Paketen, die das Ziel B haben, sind $2\,\%$ schwer. Entscheiden Sie, ob der Anteil der schweren Pakete unter denjenigen, die weder das Ziel A noch das Ziel B haben, kleiner als $5\,\%$, gleich $5\,\%$ oder größer als $5\,\%$ ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung, ohne diesen Anteil zu berechnen. [3 BE]

2.4

Im Paketzentrum wird ein schweres Paket zufällig ausgewählt und in einen Lkw verladen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um ein Paket handelt, das nicht das Ziel A hat. [3 BE]

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer. Weiterhin haben $10\,\%$ der Pakete das Ziel A und $7\,\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Material

2.5

Im Rahmen der Sortierung werden die Pakete in zufälliger Reihenfolge ausgewählt und gewogen.

Berechnen Sie die Anzahl der Pakete, die mindestens gewogen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ mindestens ein schweres Paket darunter ist.

[4 BE]

2.6

Die Zufallsgröße $Y$ gibt die Anzahl der schweren Pakete unter insgesamt $n$ zufällig ausgewählten Paketen an. Im Material ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ für einen bestimmten Wert von $n$ dargestellt. Hierbei ist der Erwartungswert $\mu$ eine natürliche Zahl.

Bestätigen Sie mithilfe des Materials, dass $P(10 \le Y \le 12) < 0{,}4$ gilt.

Bestimmen Sie die Gesamtzahl $n$ der Pakete.

[5 BE]

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer. Weiterhin haben $10\,\%$ der Pakete das Ziel A und $7\,\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Material

Auf einem Rollcontainer befinden sich 100 Pakete, darunter 30 Pakete für den Eulerplatz, 45 Pakete für die Gaußstraße und 25 Pakete für den Leibnizweg. Die Pakete sind im Container zufällig angeordnet.

Ein Paketzusteller lädt 5 Pakete vom Container; darunter befinden sich 3 Pakete für den Eulerplatz und 2 Pakete für den Leibnizweg. Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis werden 4 Ansätze aufgestellt.

(1) $$\frac{25}{100} \cdot \frac{24}{99} \cdot \frac{30}{98} \cdot \frac{29}{97} \cdot \frac{28}{96}$$

(2) $$\frac{\binom{30}{3} \cdot \binom{25}{2}}{\binom{100}{5}}$$

(3) $$10 \cdot \frac{30}{100} \cdot \frac{29}{99} \cdot \frac{28}{98} \cdot \frac{25}{97} \cdot \frac{24}{96}$$

(4) $$\binom{5}{3} \cdot 0{,}3^3 \cdot 0{,}25^2$$

Mehr als 200 Millionen ausrangierte Handys und Smartphones (im Folgenden als Alt-Handys bezeichnet) lagern in deutschen Wohnungen, ob als Ersatzgerät oder wegen der vielen gespeicherten Fotos.

Vor einem Einkaufszentrum werden Personen ab 16 Jahren zufällig ausgewählt und befragt, wie viele Alt-Handys sie besitzen. Es soll davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der befragten Personen, die angeben, drei und mehr Alt-Handys, zwei Alt-Handys, ein Alt-Handy, kein Alt-Handy oder kein Handy zu besitzen, jeweils durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann. Die im Material 1 angegebenen prozentualen Anteile sollen als Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden.

Material 1

Hinweise: 1% der Befragten machte keine Angaben. Befragte, die angeben, kein Alt-Handy zu besitzen, nutzen noch ihr erstes Handy.

URL: https://www.bitkom.org/Presse/Presseinformation/Mehr-als-200-Millionen-Alt-Handys-lagern-in-deutschen-Wohnungen (abgerufen am 04.06.2021).

1.1

Es werden 80 Personen befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.

$E_1$: Genau 16 der befragten Personen geben an, zwei Alt-Handys zu besitzen.

$E_2$: Höchstens 42 der befragten Personen geben an, drei und mehr Alt-Handys zu besitzen.

$E_3$: Mindestens 3, aber höchstens 6 der befragten Personen geben an, genau ein Alt-Handy zu besitzen.

$E_4$: Die Anzahl der befragten Personen, die angeben, kein Handy oder kein Alt-Handy zu besitzen, ist größer als die zu erwartende Anzahl.

1.2

Geben Sie den Wert des Terms $\binom{80}{35}\cdot 0{,}57^{35}\cdot 0{,}43^{45}$ an und erklären Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang.

1.3

Berechnen Sie, wie viele Personen mindestens befragt werden müssen, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $85\,\%$ mindestens eine Person darunter befindet, die angibt, kein Alt-Handy zu besitzen.

16 % der Deutschen ab 16 Jahren heben ihre Alt-Handys ausnahmslos auf. Für eine Studie werden 1120 Frauen ab 16 Jahren und 952 Männer derselben Altersgruppe zufällig ausgewählt und telefonisch befragt. 1612 Personen, darunter 742 Männer, geben an, dass sie ihre Alt-Handys nicht ausnahmslos aufheben.

Eine der befragten Personen wird zufällig ausgewählt und folgende Ereignisse werden betrachtet:

$W$: „Die Person ist weiblich.“

$A$: „Die Person gibt an, dass sie ihre Alt-Handys ausnahmslos aufhebt.“

Material 2

· $A$ · $\overline{A}$ · $\sum$

$W$

$\overline{W}$

$\sum$

2.1

Der Sachverhalt soll tabellarisch dargestellt werden.

Geben Sie die fehlenden Werte in der Tabelle in Material 2 an.

$A$

$\overline{A}$

$\sum$

$W$

$\overline{W}$

$\sum$

Entscheiden Sie begründet, ob der prozentuale Anteil der in der Studie befragten Personen, die angeben, ihre Alt-Handys ausnahmslos aufzuheben, dem Bundesdurchschnitt entspricht.

2.2

Die Terme $P_W(A)$ und $P(W \cap A)$ bezeichnen Wahrscheinlichkeiten.

Beschreiben Sie die Bedeutung der Terme im Sachzusammenhang.

2.3

Untersuchen Sie, ob die Wahrscheinlichkeiten $P_{\overline{A}}(W)$ und $P(W)$ übereinstimmen.

Deuten Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

$5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\text{ kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer. Weiterhin haben $10\,\%$ der Pakete das Ziel A und $7\,\%$ das Ziel B.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$S$: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

$Z$: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Material

Eine Firma ist darauf spezialisiert, gebrauchte Smartphones, die von ihr generalüberholt, gereinigt und geprüft werden, weiter zu verkaufen. Ein Zwischenhändler bietet der Firma in einer Großlieferung gebrauchte Smartphones zu einem sehr günstigen Preis an. Erfahrungsgemäß sind $20\,\%$ der Geräte dieses Zwischenhändlers so stark beschädigt, dass sie von der Firma nicht mehr verwertet werden können.

3.1

Ein Ankauf beim Zwischenhändler lohnt sich für die Firma nur, wenn bei einer Großlieferung im Mittel mindestens $5000$ verwertbare Smartphones dabei sind.

In diesem Zusammenhang wird folgende Überlegung angestellt:

(1) $(5000 + k) \cdot 0{,}2 = k \quad (k > 0)$

(2) $\ldots \Leftrightarrow k = 1250$

(3) $y \ge 6250$

Erläutern Sie den Ansatz in Zeile (1) im Sachzusammenhang. Geben Sie in Zeile (2) die durch Auslassungspunkte gekennzeichnete fehlende Berechnung an. Erklären Sie das Ergebnis in Zeile (3) im Sachzusammenhang. [5 BE]

3.2

Die Firma überprüft zufällig ausgewählte Smartphones der Großlieferung des Zwischenhändlers. Die Zufallsgröße $Z$ beschreibe die Anzahl der verwertbaren Geräte.

Wenn $\mu$ der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße $Z$ ist und $\sigma$ die zugehörige Standardabweichung, dann gilt für $\sigma > 3$: $\mathrm{P}(\mu - 2\sigma \le Z \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}95$.

3.2.1

Berechnen Sie, wie viele Geräte mindestens überprüft werden müssen, damit die Bedingung $\sigma > 3$ erfüllt ist. [2 BE]

3.2.2

Die Firma überprüft $500$ Geräte. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{P}(\mu - 2\sigma \le Z \le \mu + 2\sigma)$ auf vier Nachkommastellen genau. [4 BE]