Abitur Hessen Mathematik 2022 · GK · Teil A · Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \cos(x) + 1$. Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$.

Die Gerade $g$ verläuft durch die Hochpunkte von $G_f$.

a)

Begründen Sie, dass die Gerade $g$ durch die Gleichung $y = 2$ dargestellt werden kann.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \cos(x) + 1$. Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$.

Die Gerade $g$ verläuft durch die Hochpunkte von $G_f$.

b)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die in der Abbildung grau markiert ist.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \cos(x) + 1$. Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$.

Die Gerade $g$ verläuft durch die Hochpunkte von $G_f$.

1 Aufgabe

a

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f: x \mapsto a \cdot b^x$ mit $a, b \in \mathbb{R}^+$. Bestimmen Sie die passenden Werte von $a$ und $b$.

b

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: x \mapsto 3^x$ wird um 2 in negative x-Richtung verschoben. Zeigen Sie, dass der dadurch entstehende Graph auch durch eine Streckung des Graphen von $g$ in y-Richtung erzeugt werden kann.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \cos(x) + 1$. Die Abbildung zeigt ihren Graphen $G_f$.

Die Gerade $g$ verläuft durch die Hochpunkte von $G_f$.

Der Graph der in $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ definierten Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{(x-1)^2} - 5$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierten Funktion $f: x \mapsto \frac{1}{x^2}$ durch eine Verschiebung in $x$-Richtung und eine Verschiebung in $y$-Richtung hervor. Geben Sie die beiden Verschiebungen an. Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von $f$ an und berechnen Sie unter Verwendung dieses Terms den Wert der ersten Ableitungsfunktion von $g$ an der Stelle $2$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^2$. Bestimmen Sie diejenige reelle Zahl $m$ mit $m < 0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y = m \cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen.

$m =$