Aufgaben zu Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte

220 Aufgaben zu Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte aus dem Abitur Hessen Mathematik (2021-2022). Mit ausführlicher Lösung.

Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 3 · GK · CAS 2022

Untersuchung der Funktionenschar f_t(x) = 0,16*(t - 0,9)*x^3 - 0,4*(t - 1)*x^2 + 0,7*x: 3.1 Nachweis, dass für t = 2 die Funktion f(x) entsteht. 3.2 Bestätigung, dass für f_2 der Straßenverlauf südlich von P_3(1,75|1,25) liegt, und Bestimmung von t, sodass der Graph durch P_3 verläuft. 3.3 Allgemeine Steigung in…

Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 4 - Differentialrechnung · GK · CAS 2022

Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Wachstumsrate der Mikroorganismen größer oder gleich 200 Mikroorganismen pro Tag beträgt.

Aufgabe Vorschlag B1 - 1 - Differentialrechnung · GK · WTR 2022

1.1: Berechnen Sie die Nullstellen von g sowie Art und Lage der Extrempunkte des Graphen von g. Beschriften Sie die Koordinatenachsen in Material 1 mit einer geeigneten Skala. 1.2: Erläutern Sie die Bedeutung des Hochpunktes sowie des Differenzenquotienten (g(1)-g(0,5))/(1-0,5) im Sachzusammenhang.

Aufgabe Vorschlag B1 - 2 - Differentialrechnung · GK · WTR 2022

2.1: Ordnen Sie die Parameter a=1 und a=2 begründet jeweils einem der Graphen u, v und w zu. Beschreiben Sie die Bedeutung von a für die Lage der Hochpunkte. 2.3: Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Wendestellen t_{1/2} = 1 ± √(1 - (4-a)/6) gilt. Bestimmen Sie den Wert des Parameters a, für den die Nullstellen bei…

Aufgabe Vorschlag B2 - 4 - Differentialrechnung · GK · WTR 2022

Erläutern Sie die Bedeutung der Ableitungsfunktion h' im Sachzusammenhang und erklären Sie die Zeilen (1) h'(t) = 2 => t_1 ≈ 10; t_2 ≈ 14 und (2) h'(t) ≥ 2 für alle t in [10; 14] im Sachzusammenhang.

Aufgabe 1.2 - Wendestelle · LK · CAS 2022

Es gibt einen Wert von k, für den 1 eine Wendestelle von f_k ist. Berechnen Sie diesen Wert von k.

Aufgabe B1 - Aufgabe 2 (Differentialrechnung) · LK · CAS 2022

Untersuchung der Geschwindigkeitsabnahme des ICE und der Funktionenschar f_p (Aufgaben 2.1.1, 2.1.2, 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3).

Aufgabe B1 - Aufgabe 3.3-3.4 - Wendepunkte und Tangenten · LK · CAS 2022

Aufgabe 3.3: Zeigen Sie, dass jeder Wendepunkt des Graphen von s eine ganzzahlige x-Koordinate hat und die Steigung ±π/2 besitzt. Aufgabe 3.4: Untersuchen Sie, ob eine der Geraden durch einen Wendepunkt und P(2022|2022) Tangente an den Graphen von s im jeweiligen Wendepunkt ist.

Aufgabe B2 - Aufgabe 1.2 - Extrempunkte · LK · CAS 2022

Vorschlag B2, Aufgabe 1.2: Bedeutung des Parameters b beschreiben und alle Extrempunkte der Funktionenschar f_b berechnen.

Aufgabe B2 - Aufgabe 2.1 - Eingangsrate · LK · CAS 2022

Teilaufgabe 2.1: Eingangsrate einer Telefon-Spendenaktion. Bestimmung des Scharparameters b für f_b(60) = 17, Vergleich der Eingangsraten nach 2 und 8 Stunden, Ermittlung des Maximums, Bestimmung des Wendepunkts mit Wechsel von Rechts- in Linkskrümmung samt Deutung sowie Bestimmung des Minimums auf [40; 240].

Aufgabe Vorschlag B1 - 1 - Differentialrechnung · LK · Schulen für Erwachsene 2022

1.1: Nullstellen von g berechnen, Art und Lage der Extrempunkte bestimmen und Achsen in Material 1 beschriften. 1.2: Bedeutung des Hochpunktes und des Differenzenquotienten im Sachzusammenhang erläutern.

Aufgabe Vorschlag B1 - 2 - Differentialrechnung · LK · Schulen für Erwachsene 2022

2.1: Ordnen Sie die Parameter a=1 und a=2 begründet jeweils einem der Graphen u, v, w in Material 2 zu und beschreiben Sie die Bedeutung von a für die Lage der Hochpunkte. 2.3: Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Wendestellen von f_a gilt: t_{1/2} = 1 +- sqrt(1 - (4-a)/6). Bestimmen Sie den Wert des Parameters a, für…

Aufgabe Vorschlag B2 - 4 - Differentialrechnung · LK · Schulen für Erwachsene 2022

4.2 Erläutern Sie die Bedeutung der Ableitungsfunktion h' im Sachzusammenhang und erklären Sie die Zeilen (1) und (2) im Sachzusammenhang.

Aufgabe 1.2 · LK · WTR 2022

1.2 Es gibt einen Wert von k, für den 1 eine Wendestelle von f_k ist. Berechnen Sie diesen Wert von k. [4 BE]

Aufgabe Vorschlag B1 – Aufgabe 1 (1.2–1.4) · LK · WTR 2022

Aufgaben 1.2, 1.3 und 1.4: Erste Ableitung der Funktionenschar f_a(t) berechnen und zweite Ableitung f_a''(t) nachweisen (6 BE). Koordinaten des Extrempunktes berechnen und die Art des Extrempunktes in Abhängigkeit von Parameter a untersuchen (6 BE). Anhand von Material 1 den Wert des Parameters a bestimmen und die…

Aufgabe Vorschlag B1 – Aufgabe 2.1 · LK · WTR 2022

Zu einem bestimmten Zeitpunkt weist die Änderungsrate der (Gesamt-)Konzentration des Wirkstoffs im Blut ein Extremum auf. Bestimmen Sie diesen Zeitpunkt.

Aufgabe Vorschlag B2 – Aufgabe 1.2 · LK · WTR 2022

1.2 Beschreiben Sie die Bedeutung des Parameters b für die Graphen der Schar. Berechnen Sie alle Extrempunkte der Graphen der Schar f_b(t) = 1/100 · (0,5t^2 + 2t) · b · e^(-0,02t).

Aufgabe Vorschlag B2 – Aufgabe 2 (2.1.3–2.1.5) · LK · WTR 2022

Aufgabe 2 (2.1.3–2.1.5): 2.1.3: Maximale Eingangsrate gemäß der Modellierung ohne Verwendung des Graphen ermitteln. 2.1.4: Wert von t bestimmen, für welchen die Krümmung von Rechts- in Linkskrümmung wechselt, und Bedeutung im Sachzusammenhang erläutern. 2.1.5: Minimale Eingangsrate im Zeitraum [40; 240] bestimmen.

Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 1 - Differentialrechnung · GK · CAS 2021

1.1: Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangente t, zeigen Sie, dass der Deich eine Breite von 25 m besitzt, und zeichnen Sie die Profillinie des Deichs. 1.2: Bestimmen Sie den höchsten Punkt der Profillinie des Deichs.

Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 2 - Differentialrechnung · GK · CAS 2021

Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters k auf Höhe und Breite des neuen Deichs und berechnen Sie k, sodass der Deich höher als 3 m ist. Ermitteln Sie k, für das an der steilsten Stelle der Flussseite |alpha| = 30° gilt.

Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 1 - Differentialrechnung · GK · CAS 2021

1.3 Bestimmen aller notwendigen Ableitungen sowie der Extrem- und Wendepunkte von i(t) = 1,525t^3 - 28t^2 + 129t + 21 und Deutung im Sachzusammenhang.

Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 3 - Differentialrechnung · GK · CAS 2021

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Füllmenge des Hochwasserschutzraums in den betrachteten 72 Stunden maximal ist.

Aufgabe B1 - 1 (Differentialrechnung) · GK · WTR 2021

1.1 Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P(20|f(20)). Zeigen Sie, dass der Deich eine Breite von 25 m besitzt. Zeichnen Sie die Tangente im Bereich 20 ≤ x ≤ x_N in das Koordinatensystem im Material 1. 1.2 Berechnen Sie den höchsten Punkt der Profillinie des Deichs…

Aufgabe B1 - 2 (Differentialrechnung) · GK · WTR 2021

2.1: Einfluss des Parameters k auf Höhe und Breite des neuen Deichs angeben und k so berechnen, dass der Deich höher als 3 m ist. 2.2: Zeigen, dass die Graphen der Schar g_k unabhängig von k einen Wendepunkt bei x_W = 50/3 besitzen. 2.3: Den Wert von k berechnen, für den an der steilsten Stelle des flussseitigen…

Aufgabe B2 - 1 (Differentialrechnung) · GK · WTR 2021

1.2: Berechnen Sie zunächst ohne Beachtung des Sachkontexts die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von g. 1.3: Erläutern Sie nun, warum die in Aufgabe 1.2 für t berechneten Werte in Bezug auf die gesamte Wachstumsphase des Giraffenweibchens nicht diejenigen sind, an denen die Wachstumsgeschwindigkeit am größten…

Aufgabe B2 - 2 (Differentialrechnung) · GK · WTR 2021

2.2: Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters a auf die jeweilige Lage des Wendepunktes der Graphen der Schar f_a.

Aufgabe Vorschlag B1 – 1 · LK · CAS 2021

Aufgabe 1: Modellierung des Bakterienwachstums mit mittleren und momentanen Änderungsraten sowie Mittelwertsatz (Beweisskizze und geometrische Deutung).

Aufgabe Vorschlag B1 – 3.2–3.3 - Differentialrechnung · LK · CAS 2021

3.2: Zeigen Sie die alternative Darstellung von h'(t), begründen Sie lim_{t->inf} h'(t) = 0 und erläutern Sie die Bedeutung für h im Sachzusammenhang. 3.3: Bestimmen Sie k so, dass h für t = 12 am stärksten wächst.

Aufgabe Vorschlag B2 – 1.1–1.2 - Differentialrechnung · LK · CAS 2021

1.1 Berechnen Sie die Extrempunkte des Graphen von f_{a;k} und geben Sie die verwendeten Ableitungsregeln an. 1.2 Begründen Sie, dass für festes k alle Hochpunkte auf einer Parallelen zur y-Achse liegen. Leiten Sie die Ortskurve p_a(x) = (a/e^2)*x^2 her und skizzieren Sie die Parabel für a=1 in Material 1.

Aufgabe Vorschlag B2 – 3.2 - Differentialrechnung · LK · CAS 2021

Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion V'. Begründen Sie, dass 59 <= V'(x) <= 541 gilt, und erläutern Sie die Bedeutung der Grenzen 59 und 541 des Wertebereiches von V' im Sachzusammenhang.

Aufgabe B1 - 1.3 - Extremstellen · LK · WTR 2021

Zeigen Sie, dass die Funktion v_2(t) = 4,5 + e^(-0,5t) · (t - 0,25t^2) maximal zwei Extremstellen haben kann.

Aufgabe B1 - 2.3–2.4 - Hochpunkte und Ortskurve · LK · WTR 2021

2.3: Berechnen Sie Nullstellen und Hochpunkte der Schar f_k(t) = 3t·e^(-kt). 2.4: Bestimmen Sie die Ortskurve der Hochpunkte.

Aufgabe B1 - 3.3 - Beschleunigung · LK · WTR 2021

3.3: Bestimmen Sie für den Radfahrer mit der Geschwindigkeit v₁ die Beschleunigung fünf Sekunden nach dem Start.

Aufgabe B2 - 1 · LK · WTR 2021

Gegeben ist die Funktionenschar f_a;k(x) = a · x² · e^(-kx) mit a > 0, k > 0. 1.1: Erste Ableitung bestimmen und Ableitungsregeln angeben. 1.2: Tiefpunkt T(0|0) und Hochpunkt H(2/k | 4a/(k²·e²)) bestätigen und Eigenschaft bei festem k begründen. 1.3: Ortskurve p_a(x) = (a/e²)·x² herleiten und für a = 1 skizzieren.…

Aufgabe B2 - 3.1 - Ableitung · LK · WTR 2021

Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion V'. Begründen Sie, dass 59 ≤ V'(x) ≤ 541 gilt, und erläutern Sie die Bedeutung der Grenzen 59 und 541 des Wertebereiches von V' im Sachzusammenhang.

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