Abitur Hessen Mathematik 2022 · LK · Teil A · Analysis

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k: x \mapsto x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2$ mit $k \in \mathbb{R}$.

1 Aufgabe

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$, wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Die Abbildung zeigt den Graphen $G_F$ von $F$.

a

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_1^7 f(x)\,\mathrm{d}x$.

$\int_1^7 f(x)\,\mathrm{d}x =$

b

Bestimmen Sie den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$. Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in der Abbildung.

$f(1) =$

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k: x \mapsto x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2$ mit $k \in \mathbb{R}$.

a

Begründen Sie, dass der Graph von $f_2$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k: x \mapsto x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2$ mit $k \in \mathbb{R}$.

b

Es gibt einen Wert von $k$, für den 1 eine Wendestelle von $f_k$ ist. Berechnen Sie diesen Wert von $k$.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k: x \mapsto x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2$ mit $k \in \mathbb{R}$.

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f: x \mapsto \cos x$ und $g_k: x \mapsto k \cdot x^2$ mit $k \in \mathbb{R}^+$. Die Abbildung zeigt die Graphen von $f$ und $g_{\frac{1}{50}}$.

a

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von $g_{\frac{1}{4}}$. [2 BE]

b

Entscheiden Sie, ob es Werte von $k$ gibt, für die die Gleichung $f(x) = g_k(x)$ mehr als $2022$ Lösungen hat. Begründen Sie Ihre Entscheidung. [3 BE]

Ermitteln Sie eine Gleichung der quadratischen Funktion $g$, die die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Der Graph von $g$ schneidet die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{1}{4}x + 1$ im Punkt $(0 \mid 1)$ unter einem rechten Winkel.

Die $x$- und die $y$-Koordinate des Extrempunkts des Graphen von $g$ stimmen überein.

$g(x) =$