Abitur Hessen Mathematik 2022 · LK · CAS

Analysis – Niveau 1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k: x \mapsto x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2$ mit $k \in \mathbb{R}$.

1.1 Begründen Sie, dass der Graph von $f_2$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. [1 BE]

Analysis – Niveau 1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k: x \mapsto x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2$ mit $k \in \mathbb{R}$.

1.2 Es gibt einen Wert von $k$, für den $1$ eine Wendestelle von $f_k$ ist. Berechnen Sie diesen Wert von $k$. [4 BE]

In einem Behälter befinden sich Gummibärchen.

2.1

Es befinden sich 4 rote und 2 grüne Gummibärchen im Behälter. Paula nimmt zufällig drei Gummibärchen heraus und isst sie auf. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie dabei mindestens zwei rote Gummibärchen isst. [3 BE]

Als Bruch (z. B. 4/5) oder Dezimalzahl angeben.

2.2

Es befinden sich $n$ Gummibärchen im Behälter, von denen genau eines orange ist. Max nimmt zufällig zwei Gummibärchen heraus und isst sie auf. Die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei das orangene Gummibärchen isst, beträgt 0,2. Ermitteln Sie die Anzahl $n$ der Gummibärchen im Behälter. [2 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 1

Wird der Punkt $P(1|2|3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(7|2|11)$.

3.1

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [3 BE]

3.2

Auf der Gerade durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E$; dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$. Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $R$. [2 BE]

Analysis – Niveau 2

4 Ermitteln Sie eine Gleichung der quadratischen Funktion $g$, die die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Der Graph von $g$ schneidet die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{1}{4}x + 1$ im Punkt $(0|1)$ unter einem rechten Winkel.

Die x- und die y-Koordinate des Extrempunkts des Graphen von $g$ stimmen überein.

$g(x) =$

Analysis – Vorschlag B1

1 Ein Schnellzug der Deutschen Bahn vom Typ ICE startet um 14 Uhr am Frankfurter Hauptbahnhof. Die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE kann für $x \ge 0$ zunächst modellhaft durch die Funktion $v$ mit

$$v(x) = \frac{250}{1 + 24 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}9x}} - 10$$

beschrieben werden. Dabei ist $x$ die seit 14:00 Uhr vergangene Zeit in Minuten und $v(x)$ die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde.

1.1

Zeigen Sie, dass der ICE mit einer Geschwindigkeit von $0\text{ km/h}$ startet und langfristig eine Reisegeschwindigkeit von $v_R = 240\text{ km/h}$ erreicht. [4 BE]

1.2

Berechnen Sie den Zeitpunkt $x$, zu dem der ICE $90\,\%$ der Geschwindigkeit $v_R$ erreicht. [4 BE]

Die Abbildung im Material 1 zeigt den Graphen von $v$. Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit der fehlenden Skalierung. [2 BE]

Der ICE fährt im weiteren Verlauf seiner Fahrt von 14:30 Uhr bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

2.1.1

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, die der ICE eine halbe Minute nach 15:00 Uhr hat.

Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit in der ersten halben Minute nach 15:00 Uhr um einen kleineren Betrag abnimmt als in der darauf folgenden halben Minute.

2.1.2

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit am stärksten abnimmt.

2.2

Nun werden alle in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_p$ der Schar mit

$$f_p(x) = \frac{p}{4}\cdot x^4 + (30-p)\cdot x^3 + (p-90)\cdot x^2 + 240 \quad \text{und} \quad p \in \mathbb{R}$$

daraufhin untersucht, ob sie für $0 \leq x \leq 2$ die Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnten.

2.2.1

Der Übergang von der Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit kurz vor 15:00 Uhr zur Fahrt nach 15:00 Uhr erfolgt sowohl hinsichtlich der Geschwindigkeit als auch hinsichtlich der momentanen Änderungsrate der Geschwindigkeit ohne Sprung. Die Funktionen $f_p$ werden diesen beiden Anforderungen gerecht.

Geben Sie die zugehörigen Bedingungen an, die die Funktionen $f_p$ erfüllen.

2.2.2

Geben Sie denjenigen Wert von $p$ an, für den $f_p(x)$ mit dem Term der Funktion $f$ übereinstimmt.

Beurteilen Sie für jede der Funktionen $f_{-80}$ und $f_{250}$ mithilfe des zugehörigen Graphen, ob die Funktion die Geschwindigkeitsentwicklung innerhalb des Zeitraums von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr passend beschreiben könnte.

Hinweis: Eine Skizze der Graphen ist nicht erforderlich.

2.2.3

Gegeben sind die folgenden Informationen:

Für $p \neq 0$ liefert $f_p'(x) = 0$ neben $x_1 = 0$ und $x_2 = 2$ die Lösung $x_3 = 1 - \frac{90}{p}$.

Es gilt $x_3 \leq 0 \iff 0 < p \leq 90$ und $x_3 \geq 2 \iff -90 \leq p < 0$.

Beurteilen Sie auch unter Verwendung dieser Informationen die Funktionen $f_p$ mit $p \neq 0$ im Hinblick auf ihre Eignung zur Beschreibung der angenommenen Geschwindigkeitsentwicklung innerhalb des Zeitraums von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr.

Der ICE fährt im weiteren Verlauf seiner Fahrt von 14:30 Uhr bis 15:00 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit. Von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr nimmt seine Geschwindigkeit ab. Ab 15:02 Uhr fährt der ICE wieder mit konstanter Geschwindigkeit. Zur modellhaften Beschreibung der Entwicklung der Geschwindigkeit des ICE im Zeitraum von 15:00 Uhr bis 15:02 Uhr wird eine Schar ganzrationaler Funktionen betrachtet.

2.1.3

Bestimmen Sie einen Zeitraum, der frühestens um 14:59 Uhr beginnt und spätestens um 15:03 Uhr endet, in dem der ICE eine Strecke mit einer Länge von genau $7\text{ km}$ zurücklegt.

[5 BE]

2.1.4

Untersuchen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist:

„Wenn sich die Abnahme der Geschwindigkeit von 15:01 Uhr an nicht mehr verändern würde, dann käme der ICE von diesem Zeitpunkt an nach drei Kilometern zum Stehen.“

[4 BE]

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$. Die Punkte $E_1(-2|-1)$ und $E_2(2|3)$ sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von $s$.

3.1

Bestimmen Sie die passenden Werte von $a$, $b$ und $c$.

[zur Kontrolle: $a = 2$, $b = \frac{\pi}{4}$, $c = 1$]

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$. Die Punkte $E_1(-2|-1)$ und $E_2(2|3)$ sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von $s$.

3.2

Geben Sie den Wert des Terms $\int_{-2}^{2} s(x)\,\mathrm{d}x$ an.

Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung in Material 3, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann.

Hinweis: Zur Erleichterung der Beschreibung kann die Abbildung in Material 3 geeignet beschriftet werden.

[6 BE]

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$. Die Punkte $E_1(-2|-1)$ und $E_2(2|3)$ sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von $s$.

Die Punkte des Graphen von $s$ mit der $y$-Koordinate $1$ sind die Wendepunkte des Graphen.

3.3

Zeigen Sie, dass jeder Wendepunkt des Graphen von $s$ eine ganzzahlige $x$-Koordinate hat und dass der Graph von $s$ in jedem seiner Wendepunkte entweder die Steigung $-\frac{\pi}{2}$ oder die Steigung $+\frac{\pi}{2}$ hat.

[2 BE]

3.4

Für jeden Wendepunkt des Graphen von $s$ wird die Gerade betrachtet, die durch diesen Wendepunkt und den Punkt $P(2022|2022)$ verläuft. Untersuchen Sie, ob eine dieser Geraden im jeweiligen Wendepunkt Tangente an den Graphen von $s$ ist.

[3 BE]

Gegeben sei die Funktionenschar $f_b$ mit $$f_b(t) = \frac{1}{100} \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot b \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}, \quad b \in \mathbb{R}, \; b > 0.$$

1.1

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen der Schar.

[3 BE]

1.3

Untersuchen Sie das Grenzverhalten der Funktionen der Schar für $t \to +\infty$ und $t \to -\infty$.

[4 BE]

Gegeben sei die Funktionenschar $f_b$ mit $$f_b(t) = \frac{1}{100} \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot b \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}, \quad b \in \mathbb{R}, \; b > 0.$$

1.2

Beschreiben Sie die Bedeutung des Parameters $b$ für die Graphen der Schar.

Berechnen Sie alle Extrempunkte der Graphen der Schar.

Die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung $f_b''(t) = \left(\frac{1}{100}\right)^3 \cdot (2t^2 - 392t + 9200) \cdot b \cdot e^{-0{,}02t}$ darf ohne Nachweis verwendet werden.

[zur Kontrolle: Die Hochpunkte der Schar haben die gerundeten Koordinaten $H(98{,}04 \mid 7{,}04b)$.]

[8 BE]

Tiefpunkt $T(t_T \mid y_T)$:

Hochpunkt $H(t_H \mid y_H)$:

Ein hessischer Radiosender startet anlässlich einer Naturkatastrophe eine Spendenaktion. Die Zuschauer haben bei dieser Spendenaktion die Möglichkeit, über eine Spendenhotline telefonisch einen Betrag von 50 € zu spenden. Die Spendenhotline ist für einen Zeitraum von acht Stunden erreichbar.

Die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) lässt sich in guter Näherung durch eine Funktion der Funktionenschar $f_b$ aus Aufgabe 1 modellieren. Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Minuten seit Beginn der Spendenaktion:

$$f_b(t) = \frac{1}{100} \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot b \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}, \quad b \in \mathbb{R}, \ b > 0$$

Im Folgenden soll die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten seit Beginn der Spendenaktion) durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = 0{,}03 \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t} = f_3(t)$$

der Funktionenschar aus Aufgabe 1 modelliert werden. Der Graph der Funktion $f$ ist für $t \ge 0$ im Material 1 dargestellt.

Material 1

Graph der Näherungsfunktion $f$

Die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) lässt sich in guter Näherung durch eine Funktion der Funktionenschar $f_b$ aus Aufgabe 1 modellieren: $f_b(t) = \frac{1}{100}(0{,}5t^2 + 2t)\cdot b\cdot e^{-0{,}02t},\ b > 0$. Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Minuten seit Beginn der Spendenaktion.

2.1.1

Nach einer Stunde beträgt die Eingangsrate 17 Anrufe pro Minute.

Bestimmen Sie, gerundet auf zwei Nachkommastellen, den zugehörigen Wert des Parameters $b$.

Im Folgenden soll die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten seit Beginn der Spendenaktion) durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = 0{,}03\cdot (0{,}5t^2 + 2t)\cdot e^{-0{,}02t} = f_3(t)$$

der Funktionenschar aus Aufgabe 1 modelliert werden. Der Graph der Funktion $f$ ist für $t \ge 0$ im Material 1 dargestellt.

2.1.2

Vergleichen Sie die Eingangsraten nach zwei Stunden und nach acht Stunden im Sachzusammenhang.

2.1.3

Ermitteln Sie ohne Verwendung des Graphen die maximale Eingangsrate gemäß der vorgenommenen Modellierung.

2.1.4

Bestimmen Sie, gerundet auf zwei Nachkommastellen, den Wert von $t$, für welchen die Krümmung des Graphen der Funktion $f$ von einer Rechts- in eine Linkskrümmung wechselt.

Erläutern Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang.

2.1.5

Bestimmen Sie die minimale Eingangsrate im Zeitraum $[40; 240]$.

Ein hessischer Radiosender startet anlässlich einer Naturkatastrophe eine Spendenaktion. Die Zuschauer haben bei dieser Spendenaktion die Möglichkeit, über eine Spendenhotline telefonisch einen Betrag von 50 € zu spenden. Die Spendenhotline ist für einen Zeitraum von acht Stunden erreichbar.

Die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) lässt sich in guter Näherung durch eine Funktion der Funktionenschar $f_b$ aus Aufgabe 1 modellieren. Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Minuten seit Beginn der Spendenaktion:

$$f_b(t) = \frac{1}{100} \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot b \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}, \quad b \in \mathbb{R}, \ b > 0$$

Im Folgenden soll die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten seit Beginn der Spendenaktion) durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = 0{,}03 \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t} = f_3(t)$$

der Funktionenschar aus Aufgabe 1 modelliert werden. Der Graph der Funktion $f$ ist für $t \ge 0$ im Material 1 dargestellt.

Material 1

Graph der Näherungsfunktion $f$

2.2.1

Berechnen Sie mithilfe eines geeigneten Formansatzes eine Stammfunktion $F$ von $f$.

[zur Kontrolle: $F(t) = (-0{,}75t^2 - 78t - 3900) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}$ ist die Gleichung einer möglichen Stammfunktion $F$.]

2.2.2

Bestimmen Sie den Wert des Terms $50 \cdot \int_{0}^{480} f(t)\,\mathrm{d}t$.

Erläutern Sie die Bedeutungen des Terms und des Werts im Sachzusammenhang.

2.2.3

Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ und für jede reelle Zahl $k > 600$ gilt: $F(k) - F(0) \approx \int_{0}^{600} f(t)\,\mathrm{d}t$.

Deuten Sie diesen Sachverhalt geometrisch.

Bei der Spendenaktion aus Aufgabe 2 können in der Hotline ohne entstehende Wartezeiten maximal 15 Anrufe pro Minute bearbeitet werden. Wird diese Maximalzahl überschritten, werden die eingehenden Telefonnummern registriert. Sobald wieder freie Apparate zur Verfügung stehen, werden die Anrufer mittels einer automatischen Rückruffunktion kontaktiert. Im Modell wird davon ausgegangen, dass alle mittels Rückruffunktion kontaktierten Anrufer direkt erreichbar sind.

Material 2

Ausschnitt aus dem Graphen der Näherungsfunktion

3.1

Erläutern Sie die Bedeutung der im Material 2 eingezeichneten Fläche im Sachzusammenhang. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.

[6 BE]

3.2

Ab dem Zeitpunkt $t = 50$ werden Anrufer für automatische Rückrufe registriert. Bestimmen Sie, bis zu welchem Zeitpunkt es anschließend dauert, alle Rückrufe zu tätigen.

[3 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $A(11|11|0)$, $B(-11|11|28)$, $C(11|-11|28)$ und $D(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

1.1

Begründen Sie, dass die Punkte B und C symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse liegen. [2 BE]

1.2

Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. [3 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $A(11|11|0)$, $B(-11|11|28)$, $C(11|-11|28)$ und $D(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A$, $B$ und $C$, die Ebene $F$ die Punkte $B$, $C$ und $D$.

2.1

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

[zur Kontrolle: $14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308$ ist eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene $E$.] [3 BE]

2.2

Berechnen Sie die Größe $\varphi$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_1$-$x_2$-Ebene schneidet.

Geben Sie einen Term an, mit dem aus $\varphi$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann. [5 BE]

2.3

Die Ebene $E$ teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper, ohne die Volumina zu berechnen. [4 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $A(11|11|0)$, $B(-11|11|28)$, $C(11|-11|28)$ und $D(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

3.1

Das Saarpolygon wird aus verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 1 und 2 in Material 3 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 1 und 2 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt.

$\vec{v}_1 =$

$\vec{v}_2 =$

Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

3.2

Der Punkt $P(0|0|h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ den gleichen Abstand.

Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von h:

$$\text{I } \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix},\quad r\in [0;1]$$

$$\text{II } \vec{PQ}\circ \vec{AB} = 0$$

$$\text{III } |\vec{PQ}| = 28 - h$$

Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von h zugrunde liegen.

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $A(11|11|0)$, $B(-11|11|28)$, $C(11|-11|28)$ und $D(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

Aufgabe 4: Flugbahn der Drohne und Schattenwurf

Eine Drohne (unbemanntes Luftfahrzeug mit Kamera) fliegt geradlinig. Im Modell liegt ihre Flugbahn auf der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$

Der Parameter $t$ beschreibt die Zeit in Sekunden nach dem Start bei $t = 0$. Der Erdboden liegt im Modell in der $x_1$-$x_2$-Ebene.

4.1

Erläutern Sie, warum die Drohne vom Erdboden startet und sich im Steigflug befindet.

Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn.

4.2

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Drohne mit der Seitenkante $\overline{AB}$ des Saarpolygons kollidiert.

4.3

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Drohne in einer Sekunde eine Strecke von ungefähr $5{,}1$ Metern zurücklegt, und berechnen Sie die Geschwindigkeit der Drohne in der Einheit Kilometer pro Stunde.

4.4 Die Sonne scheint zu einer bestimmten Uhrzeit in Richtung des Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$.

4.4.1

Ermitteln Sie die Gleichung der Schattengeraden $g'$, auf welcher sich der Schatten der Drohne in der $x_1$-$x_2$-Ebene bewegt.

4.4.2

Begründen Sie, dass der Schatten der Strecke $\overline{BC}$ des Saarpolygons auf dem Erdboden genau so lang ist wie die Strecke $\overline{BC}$ selbst.

4.4.3

In der Abbildung in Material 4 sind in der $x_1$-$x_2$-Ebene die Eckpunkte eines Trapezes $GHIJ$ sowie der Schatten des Saarpolygons dargestellt.

Geben Sie für jeden der Punkte $A, B, C, D$ des Saarpolygons an, welcher der Eckpunkte des Trapezes den zugehörigen Schattenpunkt darstellt.

Schattenpunkt zu A:

Schattenpunkt zu B:

Schattenpunkt zu C:

Schattenpunkt zu D:

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|3|0)$, $D(0|3|0)$, $E(0|0|3)$, $F(2|0|2)$ und $H(0|3|1)$ die Eckpunkte eines Körpers $K$ mit rechteckiger Grundfläche (Material). Alle diesen Körper $K$ begrenzende Flächen sind eben.

1.1

Zeigen Sie, dass das Viereck $EFCH$ ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist.

[4 BE]

1.2

Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene $J$ an, in der die Fläche $EFCH$ liegt. Bestimmen Sie eine zugehörige Koordinatengleichung.

[zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung lautet $J: 3x + 4y + 6z = 18$.]

[5 BE]

1.3

Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene $J$ gegenüber der $x$-$y$-Ebene.

[3 BE]

1.4

Ein Schnittpunkt der Ebene $J$ mit den Koordinatenachsen ist der Punkt $E$. Die anderen beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten $S_x(6|0|0)$ und $S_y(0|4{,}5|0)$.

Beschreiben Sie, wie man die Koordinaten des Punktes $S_y$ berechnen kann.

Zeichnen Sie die Punkte $S_x$ und $S_y$ sowie die Kanten der Pyramide $AS_xS_yE$ in das Material ein.

[4 BE]

1.5

Der Körper $K$ ist ein Teilkörper der Pyramide $AS_xS_yE$. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens des Körpers $K$ am Volumen der Pyramide $AS_xS_yE$.

[5 BE]

Gegeben ist die Geradenschar $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right]$ mit $a \in \mathbb{R}$.

1.6

Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Geraden der Schar in der Ebene $J$ liegen.

[3 BE]

1.7

Berechnen Sie den Wert des Parameters $a$, für den die zugehörige Gerade der Schar durch den Punkt $C$ verläuft.

Begründen Sie, dass für den berechneten Wert des Parameters $a$ die zugehörige Gerade der Schar die gesamte Strecke $\overline{EC}$ enthält.

[zur Kontrolle: $a = 0{,}5$]

[4 BE]

1.8

Bestimmen Sie alle Werte des Parameters $a$, für welche die zugehörigen Geraden der Schar mehr als einen Punkt mit dem Parallelogramm $EFCH$ gemeinsam haben.

[4 BE]

1.9

Erläutern Sie die Ansätze und deren geometrische Bedeutungen in den Zeilen (I) und (II) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses in Zeile (III) an.

$$\text{(I) } \begin{pmatrix} 2 - 2a \\ 3a \\ -1 - a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \iff a = \frac{8}{17}$$

$$\text{(II) } \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{8}{17} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \implies t = \frac{51}{25}$$

$$\text{(III) } d = \left| \frac{51}{25} \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{8}{17} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right] \right| = \left| \begin{pmatrix} 2{,}16 \\ 2{,}88 \\ -3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{21{,}96} \approx 4{,}69$$

[6 BE]

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|3|0)$, $D(0|3|0)$, $E(0|0|3)$, $F(2|0|2)$ und $H(0|3|1)$ die Eckpunkte eines Körpers $K$ mit rechteckiger Grundfläche (Material). Alle diesen Körper $K$ begrenzende Flächen sind eben.

2

Ein Künstler will eine auf ebenem Boden stehende Betoninstallation herstellen, die als Sonnenuhr fungiert. Der Betonkörper entspricht dabei dem oben beschriebenen Körper K.

Die Sonnenuhr besteht neben dem Betonkörper aus einer massiven Stange, die einen Schatten auf den Betonkörper bzw. auf den Boden wirft. Die Stange wird im Folgenden als Strecke modelliert.

Der ebene Boden wird durch die x-y-Ebene dargestellt; eine Einheit entspricht einem Meter.

2.1

Die Stange ist insgesamt $3\text{ m}$ lang und wird senkrecht zur Fläche $\text{EFCH}$ im Betonkörper verankert, ein Teil der Stange steckt also im Betonkörper. Die Stange endet im Modell im Punkt $Q(1{,}5|2|3)$ außerhalb des Betonkörpers.

Berechnen Sie die Koordinaten des anderen Endpunktes der Stange, der innerhalb des Betonkörpers liegt. [5 BE]

$($

$|$

$|$

$)$

2.2

Zu einem bestimmten Zeitpunkt fällt der Schatten des Punktes $Q$ auf den Punkt $H$.

Ermitteln Sie einen Vektor, der zum betrachteten Zeitpunkt die Richtung der parallel einfallenden Sonnenstrahlen beschreibt. [1 BE]

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = ($$

$\\$

$\\$

$)$

2.3

Zu einem anderen Zeitpunkt kann die Richtung der parallel einfallenden Sonnenstrahlen durch den Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ beschrieben werden. Der Schatten des Punktes $Q$ fällt nun auf den Boden.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes $Q'$. [2 BE]

$Q'($

$|$

$|$

$)$

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes der Kante $\overline{EH}$, der im Schatten der Stange liegt. [4 BE]

$($

$|$

$|$

$)$

Stochastik

Die Speisekarte in Material 1 zeigt die angebotenen Speisen einer Mitarbeiter-Kantine an einem Freitag. Man kann sich täglich ein Drei-Gänge-Menü zusammenstellen, indem man eine Vorspeise, eine Hauptspeise und ein Dessert auswählt. Die Gäste haben nach ihrer Auswahl alle Speisen auf einem Tablett, so dass die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.

Material 1: Menükarte Freitag

Vorspeisen:

Gemüsesuppe (v)

Kleiner Salat (v)

Lachsröllchen

Hauptspeisen:

Spaghetti mit Tomatensauce (v)

Käsespätzle (v)

Schnitzel mit Pommes Frites

Panierter Fisch mit Kartoffelsalat

Desserts:

Fruchtsalat (v)

Schokopudding (v)

Apfelstrudel (v)

Gemischtes Eis (v)

(v) vegetarisch

Die folgenden Anteile beziehen sich auf die Gesamtheit der Besucher der Kantine. Der Anteil der Vegetarier beträgt $30\,\%$. Alle in Material 1 genannten Vorspeisen und alle Desserts sind gleich beliebt. Bei den Hauptspeisen wählen $20\,\%$ die Spaghetti, $25\,\%$ die Käsespätzle, $35\,\%$ das Schnitzel und der Rest den Fisch. Es werden im Folgenden nur die Personen betrachtet, die aus jedem Gang eine Speise wählen. Vegetarier wählen ausschließlich aus den mit (v) gekennzeichneten Gerichten. Die Kantine wird täglich von mehr als $1000$ Personen besucht.

Aufgaben

1

Berechnen Sie die Anzahl

$N_1$ aller möglichen Menüs,

$N_2$ der möglichen Menüs, wenn man die Hauptspeise durch eine Vorspeise ersetzt (die beiden so gewählten Vorspeisen sollen unterschiedlich sein),

$N_3$ der möglichen vegetarischen Menüs, wenn entweder eine Vorspeise, eine Hauptspeise und ein Dessert oder zwei unterschiedliche Vorspeisen und eine Hauptspeise gewählt werden.

(3 BE)

Stochastik

Die Speisekarte in Material 1 zeigt die angebotenen Speisen einer Mitarbeiter-Kantine an einem Freitag. Man kann sich täglich ein Drei-Gänge-Menü zusammenstellen, indem man eine Vorspeise, eine Hauptspeise und ein Dessert auswählt. Die Gäste haben nach ihrer Auswahl alle Speisen auf einem Tablett, so dass die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.

Material 1: Menükarte Freitag

Vorspeisen:

Gemüsesuppe (v)

Kleiner Salat (v)

Lachsröllchen

Hauptspeisen:

Spaghetti mit Tomatensauce (v)

Käsespätzle (v)

Schnitzel mit Pommes Frites

Panierter Fisch mit Kartoffelsalat

Desserts:

Fruchtsalat (v)

Schokopudding (v)

Apfelstrudel (v)

Gemischtes Eis (v)

(v) vegetarisch

Die folgenden Anteile beziehen sich auf die Gesamtheit der Besucher der Kantine. Der Anteil der Vegetarier beträgt $30\,\%$. Alle in Material 1 genannten Vorspeisen und alle Desserts sind gleich beliebt. Bei den Hauptspeisen wählen $20\,\%$ die Spaghetti, $25\,\%$ die Käsespätzle, $35\,\%$ das Schnitzel und der Rest den Fisch. Es werden im Folgenden nur die Personen betrachtet, die aus jedem Gang eine Speise wählen. Vegetarier wählen ausschließlich aus den mit (v) gekennzeichneten Gerichten. Die Kantine wird täglich von mehr als $1000$ Personen besucht.

2 Die folgenden Anteile beziehen sich auf die Gesamtheit der Besucher der Kantine. Der Anteil der Vegetarier beträgt 30 %. Alle in Material 1 genannten Vorspeisen und alle Desserts sind gleich beliebt. Bei den Hauptspeisen wählen 20 % die Spaghetti, 25 % die Käsespätzle, 35 % das Schnitzel und der Rest den Fisch. Es werden im Folgenden nur die Personen betrachtet, die aus jedem Gang eine Speise wählen. Vegetarier wählen ausschließlich aus den mit (v) gekennzeichneten Gerichten. Die Kantine wird täglich von mehr als 1000 Personen besucht.

2.1

Erläutern Sie allgemein, unter welchen Bedingungen man bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten von Bernoulliketten ausgehen kann.

[2 BE]

2.2

Bestimmen Sie unter der Voraussetzung, dass es sich jeweils um eine Bernoullikette handelt, die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

[10 BE]

P(A) =

P(B) =

P(C) =

P(D) =

2.3

Die beiden vegetarischen Hauptspeisen sind bei den Vegetariern gleich beliebt. Betrachtet werden die Merkmale V: Besucher ist Vegetarier und K: Besucher wählt Käsespätzle.

2.3.1

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

[9 BE]

P(E) =

P(F) =

P(G) =

2.3.2

Untersuchen Sie die Merkmale V und K auf stochastische Unabhängigkeit.

[3 BE]

Stochastik

Die Speisekarte in Material 1 zeigt die angebotenen Speisen einer Mitarbeiter-Kantine an einem Freitag. Man kann sich täglich ein Drei-Gänge-Menü zusammenstellen, indem man eine Vorspeise, eine Hauptspeise und ein Dessert auswählt. Die Gäste haben nach ihrer Auswahl alle Speisen auf einem Tablett, so dass die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.

Material 1: Menükarte Freitag

Vorspeisen:

Gemüsesuppe (v)

Kleiner Salat (v)

Lachsröllchen

Hauptspeisen:

Spaghetti mit Tomatensauce (v)

Käsespätzle (v)

Schnitzel mit Pommes Frites

Panierter Fisch mit Kartoffelsalat

Desserts:

Fruchtsalat (v)

Schokopudding (v)

Apfelstrudel (v)

Gemischtes Eis (v)

(v) vegetarisch

Die folgenden Anteile beziehen sich auf die Gesamtheit der Besucher der Kantine. Der Anteil der Vegetarier beträgt $30\,\%$. Alle in Material 1 genannten Vorspeisen und alle Desserts sind gleich beliebt. Bei den Hauptspeisen wählen $20\,\%$ die Spaghetti, $25\,\%$ die Käsespätzle, $35\,\%$ das Schnitzel und der Rest den Fisch. Es werden im Folgenden nur die Personen betrachtet, die aus jedem Gang eine Speise wählen. Vegetarier wählen ausschließlich aus den mit (v) gekennzeichneten Gerichten. Die Kantine wird täglich von mehr als $1000$ Personen besucht.

Der Betreiber der Kantine hat die Vermutung, dass der Anteil der Vegetarier nicht mehr $30\,\%$ beträgt, sondern gestiegen sein könnte, da die vegetarischen Gerichte stärker nachgefragt werden. Um das Angebot gegebenenfalls anpassen zu können, werden $150$ zufällig ausgewählte Besucher der Kantine gefragt, ob sie Vegetarier sind. Bei der Befragung geben $57$ Personen an, Vegetarier zu sein.

3.1

Entwickeln Sie anhand der Angaben einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ und formulieren Sie eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang. Entscheiden Sie, ob davon auszugehen ist, dass der Anteil der Vegetarier gestiegen ist. [7 BE]

3.2

Erläutern Sie die Fehler 1. und 2. Art und deren mögliche Konsequenzen im Sachzusammenhang. [4 BE]

3.3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn sich der Anteil der Vegetarier tatsächlich auf $40\,\%$ erhöht hat. [3 BE]

3.4

In Material 2 sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für einen Anteil der Vegetarier von $p_0 = 0{,}3$ und $p_1 = 0{,}4$ dargestellt. Begründen Sie die Lage des Maximums der zu $p_1 = 0{,}4$ gehörigen Verteilung. Zeichnen Sie die Fläche ein, deren Inhalt ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art darstellt, wobei die Annahme aus Aufgabe 3.3 weiterhin zugrunde gelegt wird. [4 BE]

3.5

Erläutern Sie anhand des Diagramms in Material 2, wie sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art entwickelt, wenn der tatsächliche Anteil $p$ der Vegetarier von $40\,\%$ kontinuierlich bis auf $100\,\%$ steigt. Begründen Sie, dass für $p \le 0{,}3$ die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ beizubehalten, mindestens $95{,}29\,\%$ ist, wenn beim Hypothesentest aus Aufgabe 3.1 die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art höchstens $4{,}71\,\%$ beträgt. Begründen Sie, warum man für $p \le 0{,}3$ den Fehler 2. Art nicht begehen kann. [5 BE]