Abitur Hessen Mathematik 2022 · LK · WTR

Analysis – Niveau 1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k: x \mapsto x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2$ mit $k \in \mathbb{R}$.

1.1

Begründen Sie, dass der Graph von $f_2$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. [1 BE]

Analysis – Niveau 1

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k: x \mapsto x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2$ mit $k \in \mathbb{R}$.

1.2

Es gibt einen Wert von $k$, für den $1$ eine Wendestelle von $f_k$ ist.

Berechnen Sie diesen Wert von $k$. [4 BE]

k =

In einem Behälter befinden sich Gummibärchen.

2.1

Es befinden sich 4 rote und 2 grüne Gummibärchen im Behälter. Paula nimmt zufällig drei Gummibärchen heraus und isst sie auf. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie dabei mindestens zwei rote Gummibärchen isst. [3 BE]

2.2

Es befinden sich $n$ Gummibärchen im Behälter, von denen genau eines orange ist. Max nimmt zufällig zwei Gummibärchen heraus und isst sie auf. Die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei das orangene Gummibärchen isst, beträgt $0{,}2$. Ermitteln Sie die Anzahl $n$ der Gummibärchen im Behälter. [2 BE]

n =

Lineare Algebra/Analytische Geometrie – Niveau 1

3 Wird der Punkt $P(1|2|3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(7|2|11)$.

3.1

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [3 BE]

3.2

Auf der Gerade durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E$; dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P$. Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $R$. [2 BE]

$R($

$|$

$|$

$)$

Ermitteln Sie eine Gleichung der quadratischen Funktion $g$, die die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Der Graph von $g$ schneidet die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{1}{4}x + 1$ im Punkt $(0|1)$ unter einem rechten Winkel.

Die x- und die y-Koordinate des Extrempunkts des Graphen von $g$ stimmen überein.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = a \cdot t \cdot e^{-0{,}25t}$, $a \neq 0$.

Material 1

Material 2

Beim Sehnentrapezverfahren wird der Inhalt einer Fläche, die in einem Intervall vom Graphen der Funktion $g$ und der $t$-Achse eingeschlossen wird, durch den Flächeninhalt mehrerer trapezförmiger Streifen gleicher Streifenbreite angenähert. Für einen Streifen im Intervall $[a;b]$ gilt: Der Graph von $g$ wird durch eine Sehne zwischen den Punkten $P(a|g(a))$ und $Q(b|g(b))$ ersetzt. Die Flächeninhalte der jeweils entstehenden Trapeze werden berechnet und addiert.

Material 3

Die Keplersche Fassregel (nach Johannes Kepler) ist eine Methode zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Zur Berechnung wird folgende Gleichung verwendet:

$$\int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t \approx \frac{b - a}{6} \left( g(a) + 4 \cdot g\left(\frac{a + b}{2}\right) + g(b) \right)$$

1.1

Untersuchen Sie das Verhalten der Graphen der Schar für $t \to +\infty$.

[2 BE]

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = a \cdot t \cdot e^{-0{,}25t}$, $a \neq 0$.

Material 1

Material 2

Beim Sehnentrapezverfahren wird der Inhalt einer Fläche, die in einem Intervall vom Graphen der Funktion $g$ und der $t$-Achse eingeschlossen wird, durch den Flächeninhalt mehrerer trapezförmiger Streifen gleicher Streifenbreite angenähert. Für einen Streifen im Intervall $[a;b]$ gilt: Der Graph von $g$ wird durch eine Sehne zwischen den Punkten $P(a|g(a))$ und $Q(b|g(b))$ ersetzt. Die Flächeninhalte der jeweils entstehenden Trapeze werden berechnet und addiert.

Material 3

Die Keplersche Fassregel (nach Johannes Kepler) ist eine Methode zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Zur Berechnung wird folgende Gleichung verwendet:

$$\int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t \approx \frac{b - a}{6} \left( g(a) + 4 \cdot g\left(\frac{a + b}{2}\right) + g(b) \right)$$

1.2

Ermitteln Sie die erste Ableitung der Funktionenschar $f_a$ und zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung gilt: $$f_a''(t) = a\cdot\left(\frac{1}{16}t - \frac{1}{2}\right)\cdot e^{-0{,}25t}$$

1.3

Berechnen Sie die Koordinaten des Extrempunktes der Graphen der Funktionenschar $f_a$. Untersuchen Sie in Abhängigkeit vom Parameter $a$, welche Art von Extrempunkt vorliegt.

[zur Kontrolle: Die Extremstelle liegt bei $t = 4$.]

1.4

Material 1 zeigt einen Graphen der Schar. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $a$. Zeigen Sie, dass die zugehörige Funktionsgleichung auch in der Form $g(t) = t\cdot e^{1-0{,}25t}$ dargestellt werden kann.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = a \cdot t \cdot e^{-0{,}25t}$, $a \neq 0$.

Material 1

Material 2

Beim Sehnentrapezverfahren wird der Inhalt einer Fläche, die in einem Intervall vom Graphen der Funktion $g$ und der $t$-Achse eingeschlossen wird, durch den Flächeninhalt mehrerer trapezförmiger Streifen gleicher Streifenbreite angenähert. Für einen Streifen im Intervall $[a;b]$ gilt: Der Graph von $g$ wird durch eine Sehne zwischen den Punkten $P(a|g(a))$ und $Q(b|g(b))$ ersetzt. Die Flächeninhalte der jeweils entstehenden Trapeze werden berechnet und addiert.

Material 3

Die Keplersche Fassregel (nach Johannes Kepler) ist eine Methode zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Zur Berechnung wird folgende Gleichung verwendet:

$$\int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t \approx \frac{b - a}{6} \left( g(a) + 4 \cdot g\left(\frac{a + b}{2}\right) + g(b) \right)$$

1.5

Beurteilen Sie mithilfe von Material 1 die folgende Aussage:

Für $2 \le t \le 6$ ändert sich beim Graphen jeder Stammfunktion $G$ von $g$ genau einmal das Krümmungsverhalten.

[2 BE]

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = a \cdot t \cdot e^{-0{,}25t}$, $a \neq 0$.

Material 1

Material 2

Beim Sehnentrapezverfahren wird der Inhalt einer Fläche, die in einem Intervall vom Graphen der Funktion $g$ und der $t$-Achse eingeschlossen wird, durch den Flächeninhalt mehrerer trapezförmiger Streifen gleicher Streifenbreite angenähert. Für einen Streifen im Intervall $[a;b]$ gilt: Der Graph von $g$ wird durch eine Sehne zwischen den Punkten $P(a|g(a))$ und $Q(b|g(b))$ ersetzt. Die Flächeninhalte der jeweils entstehenden Trapeze werden berechnet und addiert.

Material 3

Die Keplersche Fassregel (nach Johannes Kepler) ist eine Methode zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Zur Berechnung wird folgende Gleichung verwendet:

$$\int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t \approx \frac{b - a}{6} \left( g(a) + 4 \cdot g\left(\frac{a + b}{2}\right) + g(b) \right)$$

1.6

Ermitteln Sie mithilfe eines geeigneten Formansatzes eine Stammfunktion $G$ von $g$.

[zur Kontrolle: $G(t) = -4 \cdot (t + 4) \cdot e^{1-0{,}25t}$ ist die Funktionsgleichung einer möglichen Stammfunktion von $g$.]

1.7

Zeigen Sie, dass der Inhalt der Fläche, die der Graph von $g$ im Intervall $t \ge 0$ mit der $t$-Achse einschließt, endlich ist. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

1.8

Der Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion $g$ mit der $t$-Achse im Intervall $[2; 8]$ einschließt, kann durch zwei unterschiedliche Verfahren näherungsweise bestimmt werden.

I. Sehnentrapezverfahren mit der Streifenbreite 2 (Material 2)

II. Kepler’sche Fassregel (Material 3)

Skizzieren Sie den Näherungsansatz zum Sehnentrapezverfahren (I) in Material 1.

Ermitteln Sie jeweils den Näherungswert (auf drei Nachkommastellen gerundet) und beurteilen Sie die Güte der Näherungen durch Vergleich mit dem tatsächlichen Flächeninhalt.

Aufgabe 2

Ein Patient erhält nach einer Operation ein Medikament per Infusion. Diese ist so eingestellt, dass die Konzentration des Wirkstoffs im Blut in $\text{mg/l}$ über die Zeit $t$ in Stunden konstant ist. Der Verlauf der Konzentration kann mit der Funktion $h$ mit $h(t) = 1$ beschrieben werden.

Um die Wirkung des Medikaments zu erhöhen, erhält der Patient das Medikament zusätzlich noch einmal durch eine intravenöse Injektion. Der Verlauf der durch diese Injektion verursachten Konzentration des Wirkstoffs im Blut kann mit der Funktion $g$ mit $g(t) = t \cdot e^{1-0{,}25t}$ (aus Aufgabe 1.4) beschrieben werden.

Die Funktion $k$ mit $k(t) = 1 + t \cdot e^{1-0{,}25t}$ gibt somit für die ersten 24 Stunden ($t$ in Stunden) den Verlauf der (Gesamt-)Konzentration des Wirkstoffs im Blut in $\text{mg/l}$ an. Dabei ist $t = 0$ der Zeitpunkt, zu dem die intravenöse Injektion des Medikaments erfolgt.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt weist die Änderungsrate der (Gesamt-)Konzentration des Wirkstoffs im Blut ein Extremum auf.

Bestimmen Sie diesen Zeitpunkt.

Hinweis: Eine Randwertbetrachtung ist nicht erforderlich.

2.1

Aufgabe 2

Ein Patient erhält nach einer Operation ein Medikament per Infusion. Diese ist so eingestellt, dass die Konzentration des Wirkstoffs im Blut in $\text{mg/l}$ über die Zeit $t$ in Stunden konstant ist. Der Verlauf der Konzentration kann mit der Funktion $h$ mit $h(t) = 1$ beschrieben werden.

Um die Wirkung des Medikaments zu erhöhen, erhält der Patient das Medikament zusätzlich noch einmal durch eine intravenöse Injektion. Der Verlauf der durch diese Injektion verursachten Konzentration des Wirkstoffs im Blut kann mit der Funktion $g$ mit $g(t) = t \cdot e^{1-0{,}25t}$ (aus Aufgabe 1.4) beschrieben werden.

Die Funktion $k$ mit $k(t) = 1 + t \cdot e^{1-0{,}25t}$ gibt somit für die ersten 24 Stunden ($t$ in Stunden) den Verlauf der (Gesamt-)Konzentration des Wirkstoffs im Blut in $\text{mg/l}$ an. Dabei ist $t = 0$ der Zeitpunkt, zu dem die intravenöse Injektion des Medikaments erfolgt.

Berechnen Sie die durchschnittliche Konzentration, die in den ersten 8 h nach Zuführung der zweiten Dosis des Medikaments vorliegt.

2.2

Aufgabe 2

Ein Patient erhält nach einer Operation ein Medikament per Infusion. Diese ist so eingestellt, dass die Konzentration des Wirkstoffs im Blut in $\text{mg/l}$ über die Zeit $t$ in Stunden konstant ist. Der Verlauf der Konzentration kann mit der Funktion $h$ mit $h(t) = 1$ beschrieben werden.

Um die Wirkung des Medikaments zu erhöhen, erhält der Patient das Medikament zusätzlich noch einmal durch eine intravenöse Injektion. Der Verlauf der durch diese Injektion verursachten Konzentration des Wirkstoffs im Blut kann mit der Funktion $g$ mit $g(t) = t \cdot e^{1-0{,}25t}$ (aus Aufgabe 1.4) beschrieben werden.

Die Funktion $k$ mit $k(t) = 1 + t \cdot e^{1-0{,}25t}$ gibt somit für die ersten 24 Stunden ($t$ in Stunden) den Verlauf der (Gesamt-)Konzentration des Wirkstoffs im Blut in $\text{mg/l}$ an. Dabei ist $t = 0$ der Zeitpunkt, zu dem die intravenöse Injektion des Medikaments erfolgt.

2.3

Die Wirkstoffmenge, die mindestens im Blut vorhanden sein muss, damit das Medikament wirkt, bezeichnet man als therapeutische Konzentration.

Bei dem hier betrachteten Verlauf der Krankheit liegt die therapeutische Konzentration bei $2\text{ mg/l}$. Diese muss für einen Zeitraum von mindestens $14\text{ h}$ erreicht werden.

Entscheiden Sie begründet, ob die vorliegende Medikamentengabe den Bedingungen genügt.

Gegeben sei die Funktionenschar $f_b$ mit $$f_b(t) = \frac{1}{100}\cdot (0{,}5t^2 + 2t)\cdot b\cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}, \quad b \in \mathbb{R}, \; b > 0.$$

Die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung $$f_b''(t) = \left(\frac{1}{100}\right)^3\cdot (2t^2 - 392t + 9200)\cdot b\cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}$$ darf ohne Nachweis verwendet werden.

1.1

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen der Schar.

1.3

Untersuchen Sie das Grenzverhalten der Funktionen der Schar für $t \to +\infty$ und $t \to -\infty$.

Gegeben sei die Funktionenschar $f_b$ mit $$f_b(t) = \frac{1}{100}\cdot (0{,}5t^2 + 2t)\cdot b\cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}, \quad b \in \mathbb{R}, \; b > 0.$$

Die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung $$f_b''(t) = \left(\frac{1}{100}\right)^3\cdot (2t^2 - 392t + 9200)\cdot b\cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}$$ darf ohne Nachweis verwendet werden.

1.2

Beschreiben Sie die Bedeutung des Parameters $b$ für die Graphen der Schar.

Berechnen Sie alle Extrempunkte der Graphen der Schar.

Die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung $f_b''(t) = \left(\frac{1}{100}\right)^3 \cdot (2t^2 - 392t + 9200) \cdot b \cdot e^{-0,02t}$ darf ohne Nachweis verwendet werden.

[zur Kontrolle: Die Hochpunkte der Schar haben die gerundeten Koordinaten $H(98,04 \mid 7,04b)$.]

Tiefpunkt $T(t_T \mid y_T)$:

Hochpunkt $H(t_H \mid y_H)$:

Ein hessischer Radiosender startet anlässlich einer Naturkatastrophe eine Spendenaktion. Die Zuschauer haben bei dieser Spendenaktion die Möglichkeit, über eine Spendenhotline telefonisch einen Betrag von 50 € zu spenden. Die Spendenhotline ist für einen Zeitraum von acht Stunden erreichbar.

Die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) lässt sich in guter Näherung durch eine Funktion der Funktionenschar $f_b$ aus Aufgabe 1 modellieren. Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Minuten seit Beginn der Spendenaktion.

Im Folgenden soll die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten seit Beginn der Spendenaktion) durch die Funktion $f$ mit$$f(t) = 0{,}03 \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t} = f_3(t)$$der Funktionenschar aus Aufgabe 1 modelliert werden. Der Graph der Funktion $f$ ist für $t \ge 0$ im Material 1 dargestellt.

Material 1

Graph der Näherungsfunktion $f$

2.1.1

Nach einer Stunde beträgt die Eingangsrate 17 Anrufe pro Minute.

Bestimmen Sie, gerundet auf zwei Nachkommastellen, den zugehörigen Wert des Parameters $b$.

$b \approx$

Ein hessischer Radiosender startet anlässlich einer Naturkatastrophe eine Spendenaktion. Die Zuschauer haben bei dieser Spendenaktion die Möglichkeit, über eine Spendenhotline telefonisch einen Betrag von 50 € zu spenden. Die Spendenhotline ist für einen Zeitraum von acht Stunden erreichbar.

Die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) lässt sich in guter Näherung durch eine Funktion der Funktionenschar $f_b$ aus Aufgabe 1 modellieren. Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Minuten seit Beginn der Spendenaktion.

Im Folgenden soll die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten seit Beginn der Spendenaktion) durch die Funktion $f$ mit$$f(t) = 0{,}03 \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t} = f_3(t)$$der Funktionenschar aus Aufgabe 1 modelliert werden. Der Graph der Funktion $f$ ist für $t \ge 0$ im Material 1 dargestellt.

Material 1

Graph der Näherungsfunktion $f$

2.1.2

Vergleichen Sie die Eingangsraten nach zwei Stunden und nach acht Stunden im Sachzusammenhang.

Ein hessischer Radiosender startet anlässlich einer Naturkatastrophe eine Spendenaktion. Die Zuschauer haben bei dieser Spendenaktion die Möglichkeit, über eine Spendenhotline telefonisch einen Betrag von 50 € zu spenden. Die Spendenhotline ist für einen Zeitraum von acht Stunden erreichbar.

Die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) lässt sich in guter Näherung durch eine Funktion der Funktionenschar $f_b$ aus Aufgabe 1 modellieren. Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Minuten seit Beginn der Spendenaktion.

Im Folgenden soll die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten seit Beginn der Spendenaktion) durch die Funktion $f$ mit$$f(t) = 0{,}03 \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t} = f_3(t)$$der Funktionenschar aus Aufgabe 1 modelliert werden. Der Graph der Funktion $f$ ist für $t \ge 0$ im Material 1 dargestellt.

Material 1

Graph der Näherungsfunktion $f$

2.1.3

Ermitteln Sie ohne Verwendung des Graphen die maximale Eingangsrate gemäß der vorgenommenen Modellierung.

Anrufe pro Minute

2.1.4

Bestimmen Sie, gerundet auf zwei Nachkommastellen, den Wert von $t$, für welchen die Krümmung des Graphen der Funktion $f$ von einer Rechts- in eine Linkskrümmung wechselt.

min

Erläutern Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang.

2.1.5

Bestimmen Sie die minimale Eingangsrate im Zeitraum $[40; 240]$.

Anrufe pro Minute

Begründung:

Ein hessischer Radiosender startet anlässlich einer Naturkatastrophe eine Spendenaktion. Die Zuschauer haben bei dieser Spendenaktion die Möglichkeit, über eine Spendenhotline telefonisch einen Betrag von 50 € zu spenden. Die Spendenhotline ist für einen Zeitraum von acht Stunden erreichbar.

Die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) lässt sich in guter Näherung durch eine Funktion der Funktionenschar $f_b$ aus Aufgabe 1 modellieren. Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Minuten seit Beginn der Spendenaktion.

Im Folgenden soll die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten seit Beginn der Spendenaktion) durch die Funktion $f$ mit$$f(t) = 0{,}03 \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t} = f_3(t)$$der Funktionenschar aus Aufgabe 1 modelliert werden. Der Graph der Funktion $f$ ist für $t \ge 0$ im Material 1 dargestellt.

Material 1

Graph der Näherungsfunktion $f$

2.2.1

Berechnen Sie mithilfe eines geeigneten Formansatzes eine Stammfunktion $F$ von $f$.

[zur Kontrolle: $F(t) = (-0{,}75t^2 - 78t - 3900) \cdot e^{-0{,}02t}$ ist die Gleichung einer möglichen Stammfunktion $F$.]

2.2.2

Berechnen Sie den Wert des Terms $50 \cdot \int_0^{480} f(t)\,\mathrm{d}t$.

Bei der Spendenaktion aus Aufgabe 2 können in der Hotline ohne entstehende Wartezeiten maximal 15 Anrufe pro Minute bearbeitet werden. Wird diese Maximalzahl überschritten, werden die eingehenden Telefonnummern registriert. Sobald wieder freie Apparate zur Verfügung stehen, werden die Anrufer mittels einer automatischen Rückruffunktion kontaktiert. Im Modell wird davon ausgegangen, dass alle mittels Rückruffunktion kontaktierten Anrufer direkt erreichbar sind.

Material 2: Ausschnitt aus dem Graphen der Näherungsfunktion

3.1

Erläutern Sie die Bedeutung der im Material 2 eingezeichneten Fläche im Sachzusammenhang.

Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.

3.2

Ab dem Zeitpunkt $t = 50$ (bis zu einem späteren Zeitpunkt) müssen eingehende Telefonnummern registriert werden.

(1) $15 \cdot (k - 50) = \int_{50}^k f(t)\,\mathrm{d}t$ mit $k > 50$

(2) $\Rightarrow k \approx 260$

Erläutern Sie den Ansatz in Zeile (1) im Sachzusammenhang und deuten Sie das Ergebnis in Zeile (2) im Sachzusammenhang.

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

1.1

Begründen Sie, dass die Punkte B und C symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse liegen. [2 BE]

1.2

Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit. [3 BE]

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

2 Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A$, $B$ und $C$, die Ebene $F$ die Punkte $B$, $C$ und $D$.

2.1

Geben Sie eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform an.

Berechnen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

[zur Kontrolle: $14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308$ ist eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene $E$.]

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

2.2

Berechnen Sie die Größe $\varphi$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_1$-$x_2$-Ebene schneidet.

Geben Sie einen Term an, mit dem aus $\varphi$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann. [5 BE]

2.3

Die Ebene $E$ teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen. [3 BE]

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

3.1

Das Saarpolygon wird aus verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 1 und 2 in Material 3 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 1 und 2 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt. [2 BE]

Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar. [2 BE]

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (Material 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

Material 2

Material 3

Material 4

3.2 Der Punkt $P(0|0|h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ den gleichen Abstand.

Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h$:

$$\text{I } \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix}, \quad r \in [0;1] \qquad \text{II } \vec{PQ} \circ \vec{AB} = 0 \qquad \text{III } |\vec{PQ}| = 28 - h$$

Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $h$ zugrunde liegen.

Eine Drohne (unbemanntes Luftfahrzeug mit Kamera) fliegt geradlinig. Im Modell liegt ihre Flugbahn auf der Geraden $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$ Der Parameter $t$ beschreibt die Zeit in Sekunden nach dem Start bei $t = 0$. Der Erdboden liegt im Modell in der $x_1$-$x_2$-Ebene.

Die Sonne scheint zu einer bestimmten Uhrzeit in Richtung des Vektors $$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Material 4

Aufgabe 4.1 und 4.3

4.1

Erläutern Sie, warum die Drohne vom Erdboden startet und sich im Steigflug befindet. Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn.

°

4.3

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Drohne in einer Sekunde eine Strecke von ungefähr 5,1 Metern zurücklegt, und berechnen Sie die Geschwindigkeit der Drohne in der Einheit Kilometer pro Stunde.

Eine Drohne (unbemanntes Luftfahrzeug mit Kamera) fliegt geradlinig. Im Modell liegt ihre Flugbahn auf der Geraden $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$ Der Parameter $t$ beschreibt die Zeit in Sekunden nach dem Start bei $t = 0$. Der Erdboden liegt im Modell in der $x_1$-$x_2$-Ebene.

Die Sonne scheint zu einer bestimmten Uhrzeit in Richtung des Vektors $$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Material 4

Aufgabe 4.2 und 4.4

4.2

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Drohne mit der Seitenkante $\overline{AB}$ des Saarpolygons kollidiert.

Ja

Nein

4.4.1

Die Sonne scheint zu einer bestimmten Uhrzeit in Richtung des Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$. Ermitteln Sie die Gleichung der Schattengeraden $g'$, auf welcher sich der Schatten der Drohne in der $x_1$-$x_2$-Ebene bewegt.

4.4.2

Begründen Sie, dass der Schatten der Strecke $\overline{BC}$ des Saarpolygons auf dem Erdboden genau so lang ist wie die Strecke $\overline{BC}$ selbst.

4.4.3

In der Abbildung in Material 4 sind in der $x_1$-$x_2$-Ebene die Eckpunkte eines Trapezes $GHIJ$ sowie der Schatten des Saarpolygons dargestellt. Geben Sie für jeden der Punkte $A, B, C, D$ des Saarpolygons an, welcher der Eckpunkte des Trapezes den zugehörigen Schattenpunkt darstellt.

Schattenpunkt zu A:

Schattenpunkt zu B:

Schattenpunkt zu C:

Schattenpunkt zu D:

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|3|0)$, $D(0|3|0)$, $E(0|0|3)$, $F(2|0|2)$ und $H(0|3|1)$ die Eckpunkte eines Körpers $K$ mit rechteckiger Grundfläche (siehe Material). Alle diesen Körper $K$ begrenzende Flächen sind eben.

Gegeben ist zudem die Geradenschar $g_a$:

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right] \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

1.2

Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene $J$ an, in der die Fläche $EFCH$ liegt. Bestimmen Sie eine zugehörige Koordinatengleichung.

[zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung lautet $J: 3x + 4y + 6z = 18$.]

1.4

Ein Schnittpunkt der Ebene $J$ mit den Koordinatenachsen ist der Punkt $E$. Die anderen beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten $S_x(6|0|0)$ und $S_y(0|4{,}5|0)$.

Beschreiben Sie, wie man die Koordinaten des Punktes $S_y$ berechnen kann.

Zeichnen Sie die Punkte $S_x$ und $S_y$ sowie die Kanten der Pyramide $AS_xS_yE$ in das Material ein.

Gegeben ist die Geradenschar $g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right]$ mit $a \in \mathbb{R}$.

1.6

Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Geraden der Schar in der Ebene $J$ liegen.

1.7

Berechnen Sie den Wert des Parameters $a$, für den die zugehörige Gerade der Schar durch den Punkt $C$ verläuft.

Begründen Sie, dass für den berechneten Wert des Parameters $a$ die zugehörige Gerade der Schar die gesamte Strecke $\overline{EC}$ enthält.

[zur Kontrolle: $a = 0{,}5$]

1.8

Bestimmen Sie alle Werte des Parameters $a$, für welche die zugehörigen Geraden der Schar mehr als einen Punkt mit dem Parallelogramm $EFCH$ gemeinsam haben.

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|3|0)$, $D(0|3|0)$, $E(0|0|3)$, $F(2|0|2)$ und $H(0|3|1)$ die Eckpunkte eines Körpers $K$ mit rechteckiger Grundfläche (siehe Material). Alle diesen Körper $K$ begrenzende Flächen sind eben.

Gegeben ist zudem die Geradenschar $g_a$:

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right] \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

1.1

Zeigen Sie, dass das Viereck $EFCH$ ein Parallelogramm, aber kein Rechteck ist. [4 BE]

1.3

Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene $J$ gegenüber der $x$-$y$-Ebene. [3 BE]

Hinweis aus 1.2: Eine Koordinatengleichung der Ebene $J$ lautet $3x + 4y + 6z = 18$.

°

1.5

Der Körper $K$ ist ein Teilkörper der Pyramide $AS_xS_yE$ mit $S_x(6|0|0)$ und $S_y(0|4{,}5|0)$. Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens des Körpers $K$ am Volumen der Pyramide $AS_xS_yE$. [5 BE]

%

1.9

Erläutern Sie die Ansätze und deren geometrische Bedeutungen in den Zeilen (I) und (II) und geben Sie die geometrische Bedeutung des Ergebnisses in Zeile (III) an. [6 BE]

$$\text{(I) } \begin{pmatrix} 2 - 2a \\ 3a \\ -1 - a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \iff a = \frac{8}{17}$$

$$\text{(II) } \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{8}{17} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \implies t = \frac{51}{25}$$

$$\text{(III) } d = \left| \frac{51}{25} \left( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{8}{17} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \right| = \left| \begin{pmatrix} 2{,}16 \\ 2{,}88 \\ -3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{21{,}96} \approx 4{,}69$$

Ein Künstler will eine auf ebenem Boden stehende Betoninstallation herstellen, die als Sonnenuhr fungiert. Der Betonkörper entspricht dabei dem oben beschriebenen Körper K.

Die Sonnenuhr besteht neben dem Betonkörper aus einer massiven Stange, die einen Schatten auf den Betonkörper bzw. auf den Boden wirft. Die Stange wird im Folgenden als Strecke modelliert.

Der ebene Boden wird durch die x-y-Ebene dargestellt; eine Einheit entspricht einem Meter.

Material

2.1 Die Stange ist insgesamt $3\text{ m}$ lang und wird senkrecht zur Fläche $EFCH$ im Betonkörper verankert, ein Teil der Stange steckt also im Betonkörper. Die Stange endet im Modell im Punkt $Q(1{,}5|2|3)$ außerhalb des Betonkörpers.

Berechnen Sie die Koordinaten des anderen Endpunktes der Stange, der innerhalb des Betonkörpers liegt.

$( | |)$

Ein Künstler will eine auf ebenem Boden stehende Betoninstallation herstellen, die als Sonnenuhr fungiert. Der Betonkörper entspricht dabei dem oben beschriebenen Körper K.

Die Sonnenuhr besteht neben dem Betonkörper aus einer massiven Stange, die einen Schatten auf den Betonkörper bzw. auf den Boden wirft. Die Stange wird im Folgenden als Strecke modelliert.

Der ebene Boden wird durch die x-y-Ebene dargestellt; eine Einheit entspricht einem Meter.

Material

2.2

Zu einem bestimmten Zeitpunkt fällt der Schatten des Punktes $Q$ auf den Punkt $H$.

Ermitteln Sie einen Vektor, der zum betrachteten Zeitpunkt die Richtung der parallel einfallenden Sonnenstrahlen beschreibt.

$\begin{pmatrix}\vphantom{1}\\ \vphantom{1}\end{pmatrix}\kern-\nulldelimiterspace\left(

$\\$

$\\$

\right)

2.3

Zu einem anderen Zeitpunkt kann die Richtung der parallel einfallenden Sonnenstrahlen durch den Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ beschrieben werden. Der Schatten des Punktes $Q$ fällt nun auf den Boden.

Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes $Q'$.

$(\,$

$|$

$|$

$\,$)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes der Kante $\overline{EH}$, der im Schatten der Stange liegt.

$(\,$

$|$

$|$

$\,$)

Stochastik

Die Speisekarte in Material 1 zeigt die angebotenen Speisen einer Mitarbeiter-Kantine an einem Freitag. Man kann sich täglich ein Drei-Gänge-Menü zusammenstellen, indem man eine Vorspeise, eine Hauptspeise und ein Dessert auswählt. Die Gäste haben nach ihrer Auswahl alle Speisen auf einem Tablett, so dass die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.

Material 1 – Menükarte Freitag

Vorspeisen: · Gemüsesuppe (v)

Kleiner Salat (v)

Lachsröllchen

Hauptspeisen: · Spaghetti mit Tomatensauce (v)

Käsespätzle (v)

Schnitzel mit Pommes Frites

Panierter Fisch mit Kartoffelsalat

Desserts: · Fruchtsalat (v)

Schokopudding (v)

Apfelstrudel (v)

Gemischtes Eis (v)

· (v) vegetarisch

Aufgabe 1

Berechnen Sie die Anzahl

$N_1$

aller möglichen Menüs,

$N_2$

der möglichen Menüs, wenn man die Hauptspeise durch eine Vorspeise ersetzt (die beiden so gewählten Vorspeisen sollen unterschiedlich sein),

$N_3$

der möglichen vegetarischen Menüs, wenn entweder eine Vorspeise, eine Hauptspeise und ein Dessert oder zwei unterschiedliche Vorspeisen und eine Hauptspeise gewählt werden.

Die folgenden Anteile beziehen sich auf die Gesamtheit der Besucher der Kantine. Der Anteil der Vegetarier beträgt $30\,\%$. Alle in Material 1 genannten Vorspeisen und alle Desserts sind gleich beliebt. Bei den Hauptspeisen wählen $20\,\%$ die Spaghetti, $25\,\%$ die Käsespätzle, $35\,\%$ das Schnitzel und der Rest den Fisch. Es werden im Folgenden nur die Personen betrachtet, die aus jedem Gang eine Speise wählen. Vegetarier wählen ausschließlich aus den mit (v) gekennzeichneten Gerichten. Die Kantine wird täglich von mehr als 1000 Personen besucht.

2.1

Erläutern Sie allgemein, unter welchen Bedingungen man bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten von Bernoulliketten ausgehen kann. [2 BE]

2.2

Bestimmen Sie unter der Voraussetzung, dass es sich jeweils um eine Bernoullikette handelt, die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: [10 BE]

$P(A) \approx$

$P(B) \approx$

$P(C) \approx$

$P(D) \approx$

Die folgenden Anteile beziehen sich auf die Gesamtheit der Besucher der Kantine. Der Anteil der Vegetarier beträgt $30\,\%$. Alle in Material 1 genannten Vorspeisen und alle Desserts sind gleich beliebt. Bei den Hauptspeisen wählen $20\,\%$ die Spaghetti, $25\,\%$ die Käsespätzle, $35\,\%$ das Schnitzel und der Rest den Fisch. Es werden im Folgenden nur die Personen betrachtet, die aus jedem Gang eine Speise wählen. Vegetarier wählen ausschließlich aus den mit (v) gekennzeichneten Gerichten. Die Kantine wird täglich von mehr als 1000 Personen besucht.

2.3 Die beiden vegetarischen Hauptspeisen sind bei den Vegetariern gleich beliebt. Betrachtet werden die Merkmale $V$: Besucher ist Vegetarier und $K$: Besucher wählt Käsespätzle.

2.3.1

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: [9 BE]

$E$: Ein zufällig ausgewählter Besucher ist Vegetarier und wählt nicht die Käsespätzle.

$F$: Ein zufällig ausgewählter Besucher, der die Käsespätzle gewählt hat, ist Vegetarier.

$G$: Ein zufällig ausgewählter Besucher, der kein Vegetarier ist, entscheidet sich für die Käsespätzle.

2.3.2

Untersuchen Sie die Merkmale $V$ und $K$ auf stochastische Unabhängigkeit. [3 BE]

Der Betreiber der Kantine hat die Vermutung, dass der Anteil der Vegetarier nicht mehr $30\,\%$ beträgt, sondern gestiegen sein könnte, da die vegetarischen Gerichte stärker nachgefragt werden. Um das Angebot gegebenenfalls anpassen zu können, werden $150$ zufällig ausgewählte Besucher der Kantine gefragt, ob sie Vegetarier sind. Bei der Befragung geben $57$ Personen an, Vegetarier zu sein.

Material 2

3.1

Entwickeln Sie anhand der Angaben einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ und formulieren Sie eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang. Entscheiden Sie, ob davon auszugehen ist, dass der Anteil der Vegetarier gestiegen ist. [7 BE]

3.2

Erläutern Sie die Fehler 1. und 2. Art und deren mögliche Konsequenzen im Sachzusammenhang. [4 BE]

3.3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn sich der Anteil der Vegetarier tatsächlich auf $40\,\%$ erhöht hat. [3 BE]

3.4

In Material 2 sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für einen Anteil der Vegetarier von $p_0 = 0{,}3$ und $p_1 = 0{,}4$ dargestellt. Begründen Sie die Lage des Maximums der zu $p_1 = 0{,}4$ gehörigen Verteilung.

Zeichnen Sie die Fläche ein, deren Inhalt ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art darstellt, wobei die Annahme aus Aufgabe 3.3 weiterhin zugrunde gelegt wird. [4 BE]

3.5

Erläutern Sie anhand des Diagramms in Material 2, wie sich die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art entwickelt, wenn der tatsächliche Anteil $p$ der Vegetarier von $40\,\%$ kontinuierlich bis auf $100\,\%$ steigt.

Begründen Sie, dass für $p \le 0{,}3$ die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ beizubehalten, mindestens $95{,}29\,\%$ ist, wenn beim Hypothesentest aus Aufgabe 3.1 die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art höchstens $4{,}71\,\%$ beträgt.

Begründen Sie, warum man für $p \le 0{,}3$ den Fehler 2. Art nicht begehen kann. [5 BE]