Aufgabe Vorschlag B2 - 4 - Integralrechnung · Abitur Hessen Mathematik LK · Schulen für Erwachsene 2022

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe einer Funktion $h$ modelliert werden. Der Graph von $h$ ist im Material angegeben.

Material

Graph und Wertetabelle der Funktion h

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.3 Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$-Achse im Intervall $[3; 19]$ einschließt, soll näherungsweise bestimmt werden. Im Folgenden bezeichne $O_4$ die Obersumme bei Unterteilung des Intervalls in vier Abschnitte gleicher Breite, $U_4$ die entsprechende Untersumme. Als Näherungswert für den Inhalt der Fläche erhält man:

$$A_4 = \frac{O_4 + U_4}{2} = 141{,}32$$

4.3

Erläutern Sie den Ansatz zur Berechnung von $A_4$ und bestätigen Sie das Ergebnis durch eine Rechnung unter Verwendung der Wertetabelle aus dem Material. [5 BE]

Die Funktionsgleichung von $h$ lautet: $$h(t) = \frac{100}{5 + e^{-0{,}5\cdot t + 7{,}6}}$$

4.4.2

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$-Achse im Intervall $[3; 19]$ einschließt. Nennen Sie eine Möglichkeit, den Flächeninhalt durch Veränderung des Ansatzes aus Aufgabe 4.3 besser anzunähern. [3 BE]