Aufgaben zu Integralrechnung: Flächen, Bestände und Volumina

192 Aufgaben zu Integralrechnung: Flächen, Bestände und Volumina aus dem Abitur Hessen Mathematik (2021-2022). Mit ausführlicher Lösung.

Aufgabe 1 · GK · CAS 2022

Gegeben ist f(x) = 3/4 x^2 + 1/2. 1.1 Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts im Intervall [0; 2] durch zwei Rechtecke (Untersumme). 1.2 Exakte Berechnung des Flächeninhalts durch Integration. 1.3 Beurteilung, ob die relative Abweichung mehr als 30 % beträgt.

Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 2 · GK · CAS 2022

Aufgabe 2: Ermittlung der Kurvenlänge L des ersten Abschnitts über die gegebene Integralformel und Berechnung des prozentualen Unterschieds zur direkten Luftlinie. Erklärung der Volumenformel und Berechnung des Deckschichtvolumens in m³. Berechnung des jährlichen CO2-Ausstoßes aller Fahrzeuge.

Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 4 - Integralrechnung · GK · CAS 2022

4.3: Erläutern Sie den Ansatz A_4 = (O_4 + U_4) / 2 und bestimmen Sie das Ergebnis rechnerisch. 4.5: Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche von h über [3;19] und nennen Sie eine Möglichkeit, ihn besser anzunähern.

Aufgabe 1 · GK · WTR 2022

Analysis Aufgabe 1: Gegeben ist f(x) = 3/4 x^2 + 1/2. 1.1 Berechnen Sie den Inhalt der Fläche im Intervall [0;2] näherungsweise durch die eingezeichneten Rechtecke. 1.2 Berechnen Sie den exakten Wert des Inhalts der Fläche zwischen f und der x-Achse im Intervall [0;2]. 1.3 Prüfen Sie, ob Leas Behauptung (Abweichung >…

Aufgabe Vorschlag B1 - 1 - Integralrechnung · GK · WTR 2022

1.4: Berechnen Sie die Länge des Weges in Metern, den der Läufer in den ersten zwei Minuten auf dem Laufband zurücklegt.

Aufgabe Vorschlag B1 - 2 - Integralrechnung · GK · WTR 2022

2.2: Skizzieren Sie in Material 2 die Tangente an den Hochpunkt des Graphen von f0. Beschreiben Sie, wie man den Inhalt der Fläche bestimmen kann, die zwischen dieser Tangente und dem Graphen von f0 eingeschlossen ist.

Aufgabe Vorschlag B2 - 4 - Integralrechnung · GK · WTR 2022

4.3: Erläutern Sie den Ansatz zur Berechnung von A_4 = (O_4 + U_4)/2 = 141,32 und bestätigen Sie das Ergebnis durch eine Rechnung. 4.4.2: Bestimmen Sie den Flächeninhalt im Intervall [3; 19] und nennen Sie eine Möglichkeit, ihn durch Veränderung des Ansatzes besser anzunähern.

Aufgabe B1 - Aufgabe 2 (Integralrechnung) · LK · CAS 2022

Vorschlag B1, Aufgabe 2 (2.1.3, 2.1.4): Zurückgelegte Strecke aus Geschwindigkeit mittels Integration ermitteln und eine Aussage über den Bremsweg bei konstanter Geschwindigkeitsabnahme untersuchen.

Aufgabe B1 - Aufgabe 3.2 - Integralwert · LK · CAS 2022

Geben Sie den Wert des Terms $\int_{-2}^{2} s(x)\,\mathrm{d}x$ an und beschreiben Sie mithilfe von Material 3, wie man geometrisch zu diesem Wert gelangt.

Aufgabe B2 - Aufgabe 2.2 - Stammfunktion und Gesamtspenden · LK · CAS 2022

2.2.1: Berechnung einer Stammfunktion F von f mithilfe eines geeigneten Formansatzes. 2.2.2: Bestimmung des Werts von 50 · ∫_0^480 f(t) dt und Erläuterung im Sachzusammenhang. 2.2.3: Geometrische Deutung von F(k) - F(0) ≈ ∫_0^600 f(t) dt für k > 600.

Aufgabe B2 - Aufgabe 3 · LK · CAS 2022

Vorschlag B2, Aufgabe 3: Modellierung der Hotline-Warteschlange und Rückruffunktion über Integrale (3.1 Bedeutung und Inhalt der Fläche über 15 Anrufen/min bestimmen; 3.2 Zeitpunkt bestimmen, bis zu dem alle registrierten Rückrufe getätigt sind).

Prüfungsteil 1 - Aufgabe 1 · LK · Schulen für Erwachsene 2022

1.1 Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = 3/4 x^2 + 1/2 und der x-Achse im Intervall [0;2] näherungsweise durch den Flächeninhalt der im Material eingezeichneten Rechtecke. 1.2 Berechnen Sie den exakten Wert des Flächeninhalts im Intervall [0;2]. 1.3 Prüfen Sie, ob Leas Behauptung („Der…

Prüfungsteil 1 - Aufgabe 4 · LK · Schulen für Erwachsene 2022

Gegeben ist f(x) = x^2. Berechnen Sie m > 0 so, dass der Graph von f und die Gerade y = -m*x eine Fläche mit Inhalt 36 einschließen.

Aufgabe Vorschlag B1 - 1 - Integralrechnung · LK · Schulen für Erwachsene 2022

1.4: Länge des Weges in Metern berechnen, den der Läufer in den ersten zwei Minuten zurücklegt.

Aufgabe Vorschlag B1 - 2 - Integralrechnung · LK · Schulen für Erwachsene 2022

2.2: Tangente an den Hochpunkt von f_0 in Material 2 skizzieren und die Bestimmung des Flächeninhalts zwischen Tangente und Graph von f_0 beschreiben.

Aufgabe Vorschlag B2 - 4 - Integralrechnung · LK · Schulen für Erwachsene 2022

Teilaufgabe 4.3: Erläutern Sie den Ansatz zur Berechnung von A_4 = (O_4 + U_4)/2 und bestätigen Sie das Ergebnis rechnerisch unter Verwendung der Wertetabelle. Teilaufgabe 4.4.2: Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche im Intervall [3; 19] durch Integration und nennen Sie eine Möglichkeit, den Flächeninhalt durch…

Aufgabe Vorschlag B1 – Aufgabe 1 (1.6–1.8) · LK · WTR 2022

1.6: Stammfunktion G von g mithilfe eines geeigneten Formansatzes ermitteln. 1.7: Zeigen, dass der Flächeninhalt für t ≥ 0 endlich ist und diesen bestimmen. 1.8: Sehnentrapezverfahren in Material 1 skizzieren, Näherungswerte für Trapezverfahren und Kepler'sche Fassregel ermitteln und deren Güte beurteilen.

Aufgabe Vorschlag B1 – Aufgabe 2.2 · LK · WTR 2022

Berechnen Sie die durchschnittliche Konzentration, die in den ersten 8 h nach Zuführung der zweiten Dosis des Medikaments vorliegt.

Aufgabe Vorschlag B2 – Aufgabe 2.2 · LK · WTR 2022

2.2.1 Berechnen Sie mithilfe eines geeigneten Formansatzes eine Stammfunktion F von f. 2.2.2 Berechnen Sie den Wert des Terms 50 · ∫_0^480 f(t) dt und erläutern Sie die Bedeutungen des Terms und des Werts im Sachzusammenhang.

Aufgabe Vorschlag B2 – Aufgabe 3 · LK · WTR 2022

3.1 Erläutern Sie die Bedeutung der im Material 2 eingezeichneten Fläche im Sachzusammenhang und bestimmen Sie deren Inhalt. 3.2 Erläutern Sie den Gleichungsansatz 15·(k - 50) = ∫_{50}^k f(t) dt und deuten Sie das Ergebnis k ≈ 260 im Sachzusammenhang.

Aufgabe 1 · GK · CAS 2021

1.1 Berechnen Sie das Integral von 0 bis 2 über f(x) = 2x^3 - 6x und begründen Sie mithilfe der Abbildung, warum der Wert negativ ist. 1.2 Geben Sie den Wert des Integrals von -a bis a über f(x) an.

Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · CAS 2021

1.3: Berechnen Sie mithilfe des Formansatzes F(x) = (a*x + b)*e^(1 - 1/4*x) eine Stammfunktion der Funktion f. 1.4: Berechnen Sie das Volumen des gesamten Erdreichs, das zum Bau des 1 km langen alten Deichs aufgeschüttet wurde.

Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 2 - Integralrechnung · GK · CAS 2021

Zeichnen Sie den Graphen g in das Koordinatensystem ein. Bestimmen Sie die Intervalle für Erdabtrag und Aufschüttung und berechnen Sie das zusätzlich benötigte Erdvolumen für 1 km Deich.

Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 1 - Integralrechnung · GK · CAS 2021

1.4 Berechnen Sie die mittlere Füllmenge des Stausees in den Monaten April bis Oktober, die sich aus den Datenpunkten der Tabelle ergibt. Entscheiden Sie begründet ohne weitere Rechnung, mit welchem der nachfolgenden Terme die mittlere Füllmenge des Stausees in dem betrachteten Zeitraum näherungsweise berechnet werden…

Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 2 · GK · CAS 2021

Am Fuße der Staumauer befindet sich das Kraftwerk Hemfurth I. Die Zuflussgeschwindigkeit durch den Fluss „Eder“ beträgt konstant 5,2 m³/s, durch Bäche zusätzlich 10 % mehr. Täglich wird von 17.00 bis 21.15 Uhr Wasser zur Stromerzeugung mit 36 m³/s abgegeben. Berechnen Sie die Auswirkungen der Zu- und Abflüsse auf die…

Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 3 - Integralrechnung · GK · CAS 2021

Erläutern Sie die gegebene Rechnung im Sachzusammenhang: \int_0^{60} z(t) dt - \int_0^{72} a(t) dt = 60 - 38,4 = 21,6 und begründen Sie, warum die Schlussfolgerung (Hochwasserschutzraum von 30 Mio. m³ ist ausreichend) nicht richtig sein muss.

Aufgabe 1 · GK · WTR 2021

Gegeben ist f(x) = 2x³ - 6x und der Graph von f. 1.1: Berechnen Sie das Integral von 0 bis 2 über f(x) dx und begründen Sie mithilfe der Abbildung, warum der Wert negativ ist. 1.2: Geben Sie den Wert des Integrals von -a bis a über f(x) dx an.

Aufgabe B1 - 1 (Integralrechnung) · GK · WTR 2021

1.3 Berechnen Sie mithilfe des Formansatzes F(x) = (a·x + b)·e^(1 - 1/4·x) eine Stammfunktion der Funktion f. 1.4 Berechnen Sie das Volumen des gesamten Erdreichs, das zum Bau des 1 km langen alten Deichs aufgeschüttet wurde.

Aufgabe B1 - 2 (Integralrechnung) · GK · WTR 2021

2.4 Für die Profillinie des neuen Deichs wird die Funktion g mit g(x) = g_2(x) gewählt und die gegebene Rechnung durchgeführt. Erläutern Sie mithilfe von Material 2 die Rechenschritte und deuten Sie das Ergebnis in Zeile (2) im Sachzusammenhang.

Aufgabe B2 - 1 (Integralrechnung) · GK · WTR 2021

1.4: Berechnen Sie den Wert des Terms 1/3 * int_1^4 g(t) dt. Deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. 1.5: Geben Sie eine Funktionsgleichung von G an und erläutern Sie die Bedeutung des Wertes von G zum Zeitpunkt t = 0.

Aufgabe B2 - 2 (Integralrechnung) · GK · WTR 2021

2.3: Erläutern Sie die Ergebnisse der Berechnungen in Zeile (1) und (2) im Sachzusammenhang. Zeigen Sie mithilfe des folgenden Kastens, dass a = 1,5 gelten muss. Geben Sie an, um wieviel Prozent die Wachstumsgeschwindigkeit des Männchens größer ist als die des Weibchens.

Aufgabe B2 - 3 · GK · WTR 2021

Gegeben ist die Funktion D(t) für den Größenunterschied zwischen Männchen und Weibchen für 0 ≤ t ≤ 6. Bestimmen Sie den Wert von m aus dem Integral von D(t) von 0 bis 6 = m · 6 und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Aufgabe 1.2 - Integralrechnung: Flächen, Bestände und Vol… · LK · CAS 2021

Der Graph von f(x) = sqrt(9-x^2) rotiert im Intervall [-3;3] um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers und beschreiben Sie seine Form.

Aufgabe Vorschlag B1 – 2 · LK · CAS 2021

Aus den Funktionen f und g werden die Differenzfunktionen f1(t) = f(t) - g(t), f2(t) = |f(t) - g(t)| und f3(t) = (f(t) - g(t))^2 gebildet. Skizzieren Sie f1, f2 und f3 im Intervall [0; 24]. Ermitteln Sie die Mittelwerte von f1 und f2 über [0; 24] und geben Sie deren Bedeutung an.

Aufgabe Vorschlag B2 – 2 · LK · CAS 2021

Aufgabe 2: Bestimmung von Näherungswerten für Schuhverkäufe durch Summe von Funktionswerten, Approximation durch Rechtecksflächen und Integrale (Integral von 0,5 bis 4,5 bzw. 0 bis 4), Bestimmung der Grenze n für mindestens 18000 verkaufte Paare sowie Grenzwertbetrachtung für u -> unendlich zur Prüfung des…

Aufgabe 1.2 - Rotationskörper · LK · WTR 2021

Der Graph von f rotiert im Intervall [-3; 3] um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers und beschreiben Sie seine Form.

Aufgabe B1 - 1.2 - Flächeninhalt · LK · WTR 2021

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von v_1(t) = 5·(1 - e^(-0,4t)) und der t-Achse über dem Intervall [0; 10].

Aufgabe B1 - 2.1–2.2 - Stammfunktion und Integral · LK · WTR 2021

2.1: Berechnen Sie mithilfe des Formansatzes F_k(t) = (a + b·t)·e^(-kt) eine Stammfunktionenschar F_k von f_k(t) = 3t·e^(-kt). 2.2: Ermitteln Sie den Grenzwert lim_{x->oo} int_0^x f_k(t) dt.

Aufgabe B1 - 3.2, 3.4–3.6 - Strecken und Integrale · LK · WTR 2021

Teilaufgaben 3.2, 3.4, 3.5 und 3.6 zur Beurteilung von Fahrern, Berechnung von Strecken und Durchschnittsgeschwindigkeiten sowie Deutung von Integralen.

Aufgabe B2 - 2 · LK · WTR 2021

Aufgabe B2 - 2: Rechtecksummen zur Approximation der Schuhverkäufe, Vergleich zweier Integrale anhand von Material 4, Bestimmung einer Stammfunktion mit Ansatz und Prognose des Gesamtbedarfs.

Andere Themen: Mathematik

Analysis

Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Stochastik