Aufgabe Vorschlag C1.1 - 4 - Winkel · Abitur Hessen Mathematik LK · Schulen für Erwachsene 2022

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Ein Solarhaus ist ein Haus, das seinen Energiebedarf ganz oder zum Teil durch Solarenergie deckt. Ein Prototyp eines solchen Hauses befindet sich im Transferzentrum für angepasste Technologien in Rheine (Material 1). Im Modell liegt der Boden des Hauses in der x-y-Ebene.

Material 1: Solarhaus

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

Material 2: Solarhaus mit Bezeichnungen

verändert nach: Drehsolarhaus in Rheine, 05.07.2008, URL: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehsolarhaus#/media/Datei:Drehsolarhaus_in_Rheine.jpg (abgerufen am 13.02.2022).

4.2 Die Richtung der Sonnenstrahlen zu einer bestimmten Uhrzeit verändert sich im Verlauf des Jahres; die jeweiligen Winkel zwischen den Sonnenstrahlen und der Horizontalen zu dieser Uhrzeit sind in Material 3 dargestellt.

Bestimmen Sie den Monat im Jahr, in dem der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 2{,}1 \\ -2 \end{pmatrix}$ die Richtung der Sonnenstrahlen beschreibt. [4 BE]

Material 3: Winkel zwischen den Sonnenstrahlen und der Horizontalen im Jahresverlauf

a)

°

4.3 Die auftreffende Sonnenstrahlung wird optimal genutzt, wenn die Sonnenstrahlen senkrecht auf die Solarplatte aus Aufgabe 1 treffen. Die Richtung der Sonnenstrahlen zu der betrachteten Uhrzeit im Laufe des Jahres wird modelliert, um die optimale Richtung der Sonnenstrahlen zu bestimmen.

Erläutern Sie zeilenweise die zugehörige Rechnung im Kasten (Material 4) und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. [9 BE]

Material 4: Rechnung im Kasten

Ansatz: $\vec{v_z} = \begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 2{,}1 \\ z \end{pmatrix}$ (mit $z < 0$)

$\sphericalangle(E_1; E_{xy}) = 64{,}8^\circ$

$\alpha_{\text{opt.}} = 180^\circ - (64{,}8^\circ + 90^\circ) = 25{,}2^\circ$

$$\sin(\alpha_{\text{opt.}}) = \frac{1{,}6 \cdot 0 + 2{,}1 \cdot 0 + z \cdot (-1)}{\sqrt{1{,}6^2 + 2{,}1^2 + z^2} \cdot \sqrt{(-1)^2}}$$

nach Umformungen folgt: $z \approx -1{,}24$ (oder $z \approx 1{,}24$)

b)