Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 3 - Integralrechnung · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2021

Zum Schutz vor Hochwasser wird im Stausee ein sogenannter Hochwasserschutzraum mit einem Volumen von $30\text{ Mio. m}^3$ freigehalten. Nach starken Regenfällen kann die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in den Stausee innerhalb der ersten $72$ Stunden durch die Funktion $z$ mit $$z(t) = -\frac{1}{600}(t-30)^2 + 1{,}5$$ und die Abflussgeschwindigkeit nach dem Öffnen von Notschleusen durch die Funktion $a$ mit $$a(t) = -\frac{1}{1620}(t-36)^2 + 0{,}8$$ dargestellt werden (Material 1).

Hierbei gibt $t$ jeweils die Zeit in Stunden ab dem Beginn des Zu- bzw. Abflusses an und $z(t)$ bzw. $a(t)$ die Fließgeschwindigkeit in $\text{Mio. }\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Dabei sind die Funktionen $z$ und $a$ nur in Intervallen mit positiven Funktionswerten definiert, sonst seien die Funktionswerte konstant null.

Material 1

3.1

Erläutern Sie die folgende Rechnung im Sachzusammenhang.

Begründen Sie, dass die getroffene Schlussfolgerung nicht richtig sein muss.

$$\int_0^{60} z(t)\,\mathrm{d}t - \int_0^{72} a(t)\,\mathrm{d}t = 60 - 38{,}4 = 21{,}6$$

Der Hochwasserschutzraum von $30\text{ Mio. m}^3$ ist ausreichend, da in dem betrachteten Zeitraum nur $21{,}6\text{ Mio. m}^3$ mehr zu- als abfließen.