Aufgabe Vorschlag B1 - Aufgabe 2 · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2022

Sachzusammenhang: Umgehungsstraße bei Wetzlar

Eine Umgehungsstraße in der Nähe der Stadt Wetzlar wird geplant und soll Bundesstraßen (B49/B277) und einen Autobahnzubringer (A480) verbinden. Hierbei wird der im Material dargestellte Kartenausschnitt verwendet, wobei die y-Achse Richtung Norden zeigt und eine Einheit einem Kilometer entspricht.

Im Modell kann für $x \le 0$ die vorhandene Bundesstraße (B49) durch den Graphen der Funktion $p$ mit $p(x) = -x^2 + 0{,}7x$ beschrieben werden.

Die geplante Umgehungsstraße besteht aus zwei Abschnitten. Der erste Abschnitt, der im Modell vom Koordinatenursprung zum Anschlusspunkt $P_1(2{,}5 \mid 2)$ verläuft, kann durch einen Ausschnitt aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden. Der zweite Abschnitt soll vom Anschlusspunkt $P_1$ bis zum Punkt $P_2(2{,}7 \mid 2{,}4)$ geradlinig verlaufen. Der Übergang der vorhandenen Bundesstraße zum ersten Abschnitt der Umgehungsstraße sowie der Übergang der beiden Abschnitte der Umgehungsstraße sollen jeweils knickfrei verlaufen.

Material: Kartenausschnitt

2 Die Länge $L$ einer Kurve, die durch den Graphen einer Funktion $f$ im Intervall von $a$ bis $b$ beschrieben wird, kann mithilfe der Formel

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,\mathrm{d}x$$

berechnet werden.

2.1

Ermitteln Sie unter Verwendung der Funktion $f$ aus Aufgabe 1.1 mit dieser Formel die Länge $L$ des ersten Abschnitts der Umgehungsstraße vom Koordinatenursprung zum Anschlusspunkt $P_1(2{,}5|2)$ und geben Sie Ihr Ergebnis gerundet auf eine Nachkommastelle in Meter an.

(Das Höhenprofil der Landschaft soll nicht berücksichtigt werden, es kann also von einem ebenen Verlauf der Umgehungsstraße ausgegangen werden.)

Bestimmen Sie, um wie viel Prozent der erste Abschnitt der Umgehungsstraße länger ist als die geradlinige Verbindung vom Koordinatenursprung zum Punkt $P_1$.

[zur Kontrolle: Die Länge $L$ beträgt etwa 3,3 Kilometer.]

%

2.2

Die Oberfläche der im ersten Abschnitt $24\text{ m}$ breiten Umgehungsstraße soll mit einer $4\text{ cm}$ starken Deckschicht asphaltiert werden. Erklären Sie die folgende Formel zur Bestimmung des Volumens dieser Deckschicht des ersten Abschnitts der geplanten Umgehungsstraße auf einem Intervall $[a; b]$.

$$V(a; b) = \left( \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,\mathrm{d}x \right) \cdot 0{,}024 \cdot 0{,}00004$$

Geben Sie unter Verwendung der Funktion $f$ aus Aufgabe 1.1 das Volumen der Deckschicht des ersten Abschnitts der Umgehungsstraße vom Koordinatenursprung zur Anschlussstelle $P_1(2{,}5|2)$ in Kubikmeter an.

2.3

Die gesamte Umgehungsstraße soll $3{,}75\text{ km}$ lang werden. Es wird ein Durchschnittsverbrauch von $7{,}5\text{ Liter}$ Treibstoff pro $100\text{ km}$ gemittelt über alle Fahrzeuge angenommen. Für die Menge an $\mathrm{CO_2}$, die pro Fahrzeug ausgestoßen wird, werden $2{,}4\text{ kg}$ pro Liter Treibstoff angenommen. Es wird davon ausgegangen, dass pro Tag $10.000$ Fahrzeuge mit Verbrennungsmotor die Umgehungsstraße nutzen.

Berechnen Sie unter den genannten Voraussetzungen die Menge an $\mathrm{CO_2}$ in Tonnen, die pro Jahr durch die Fahrzeuge auf der Umgehungsstraße ausgestoßen wird.