Aufgabe Vorschlag B1 – 2 · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Eine weitere Modellierung der Bakterienzahl in Abhängigkeit von der Zeit $t$ wird beschrieben durch die Funktion $h$. Dabei bedeutet:

$t$: Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn

$h(t)$: Anzahl der Bakterien in 1000

Gegeben ist die Ableitungsfunktion $h'$ der Funktion $h$ durch

$$h'(t) = 15000 \cdot k \cdot \frac{\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t}}{\left(\mathrm{e}^{25\cdot k\cdot t} + 24\right)^2}, \quad k > 0.$$

Aus den Funktionen $f$ und $g$ aus Aufgabe 1.2 werden die Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_3$ mit $f_1(t) = f(t) - g(t)$, $f_2(t) = |f(t) - g(t)|$ und $f_3(t) = (f(t) - g(t))^2$ gebildet.

2.1

Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_3$ im Intervall $[0; 24]$.

2.2

Ermitteln Sie jeweils den Wert des Terms $\frac{1}{24} \int_{0}^{24} f_1(t)\,\mathrm{d}t$ und $\frac{1}{24} \int_{0}^{24} f_2(t)\,\mathrm{d}t$ und geben Sie jeweils (ohne Bezug zum Sachzusammenhang) die Bedeutung dieses Wertes an.