Aufgabe Vorschlag B2 – 2 · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2021

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a;k}$ mit $f_{a;k}(x) = a \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$, $a > 0$, $k > 0$.

Ein Sportartikelhersteller bringt ein neues Modell eines Laufschuhs auf den Markt. Die Wochen nach Verkaufsstart werden durchnummeriert und es wird für jede Woche die Anzahl der verkauften Paare des neuen Modells ermittelt. Seit Verkaufsstart sind 14 Wochen vergangen. Die Kreuze in Material 2 zeigen die Verkaufszahlen für den genannten Zeitraum.

Eine gute Modellierung des Verlaufs der Verkaufszahlen liefert die Scharfunktion $f_{309;0{,}2}$ mit $f_{309;0{,}2}(x) = 309 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}2 \cdot x}$, deren Graph in Material 3 eingezeichnet ist.

Nach den ersten 14 Wochen liegen insgesamt noch etwa 36000 Schuhpaare des neuen Modells auf Lager und der Hersteller möchte wissen, ob diese reichen werden, oder ob weitere Schuhe produziert werden müssen. Um diese Frage zu beantworten, soll eine auf der Integralrechnung basierende Methode entwickelt werden, die es ermöglicht, die Verkaufszahlen näherungsweise zu berechnen und Prognosen für die Zukunft zu erstellen.

2.1

In der 1. Woche wurden 288, in der 2. Woche 828, in der 3. Woche 1612 und in der 4. Woche 2164 Schuhpaare des neuen Modells verkauft, also 4892 Schuhpaare insgesamt. Hierfür liefert die Summe $f_{309;0{,}2}(1) + f_{309;0{,}2}(2) + f_{309;0{,}2}(3) + f_{309;0{,}2}(4)$ einen guten Näherungswert. Bestimmen Sie diese Summe und zeigen Sie, dass die prozentuale Abweichung dieses Näherungswertes von der tatsächlichen Verkaufszahl weniger als 1,5 % beträgt.

%

2.2

Die Summe der vier Funktionswerte aus Aufgabe 2.1 lässt sich als Gesamtflächeninhalt von vier Rechtecken darstellen. Diese vier Rechtecke sind in den Abbildungen A und B in Material 4 jeweils zusammen mit dem Graphen der Funktion $f_{309;0{,}2}$ dargestellt. Der Flächeninhalt der vier Rechtecke – und somit auch die Anzahl der in den ersten vier Wochen verkauften Schuhpaare – lässt sich durch den Inhalt einer Fläche unter dem Graphen von $f_{309;0{,}2}$ sehr gut approximieren.

2.2.1 Bestimmen Sie (mit Hilfe des CAS) die Werte der beiden Integrale $\int_{0{,}5}^{4{,}5} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x$ und $\int_{0}^{4} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x$.

2.2.2 Begründen Sie anschaulich mit Hilfe von Material 4, warum das Integral $\int_{0{,}5}^{4{,}5} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x$ eine sehr gute, das Integral $\int_{0}^{4} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x$ hingegen eine weniger gute Approximation für die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke darstellt.

2.3

Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl $n$, für die $\int_{14{,}5}^{n+0{,}5} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x \ge 18000$ gilt, und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

2.4

Bestimmen Sie den Grenzwert $\lim_{u \to \infty} \int_{14{,}5}^{u} f_{309;0{,}2}(x)\,\mathrm{d}x$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang unter Berücksichtigung der vom Sportartikelhersteller aufgeworfenen Frage.