Aufgabe Vorschlag B2 - Aufgabe 4 - Integralrechnung · Abitur Hessen Mathematik GK · CAS 2022

Über den gesamten Beobachtungszeitraum kann die Anzahl der Mikroorganismen (in Hundert) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Tagen nach Beobachtungsbeginn) mithilfe der Funktion $h$ mit $$h(t) = \frac{100}{5 + e^{-0,5\cdot t + 7,6}}$$

modelliert werden.

Material

$t$ · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11

$h(t)$ · 0,22 · 0,36 · 0,59 · 0,96 · 1,53 · 2,40 · 3,68 · 5,42 · 7,60

$t$ · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19

$h(t)$ · 10,05 · 12,49 · 14,66 · 16,38 · 17,64 · 18,50 · 19,06 · 19,42

4.3

Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$-Achse im Intervall $[3; 19]$ einschließt, soll näherungsweise bestimmt werden. Im Folgenden bezeichne $O_4$ die Obersumme bei Unterteilung des Intervalls in vier Abschnitte gleicher Breite, $U_4$ die entsprechende Untersumme.

Zur Berechnung des Näherungswerts für den Inhalt der Fläche soll der folgende Ansatz verwendet werden:

$$A_4 = \frac{O_4 + U_4}{2}$$

Erläutern Sie den Ansatz zur Berechnung von $A_4$ und bestimmen Sie das Ergebnis rechnerisch.

[5 BE]

4.5

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$-Achse im Intervall $[3; 19]$ einschließt.

Nennen Sie eine Möglichkeit, den Flächeninhalt durch Veränderung des Ansatzes aus Aufgabe 4.3 besser anzunähern.

[3 BE]