Aufgabe B1 - 2 (Integralrechnung) · Abitur Hessen Mathematik GK · WTR 2021

Der alte Deich soll nun durch einen neuen, gleich langen aber höheren Deich ersetzt werden, dessen obere Profillinie für $0 \le x \le 25$ durch den Graphen einer Funktion $g$ beschrieben wird, wobei $g$ eine Funktion der Funktionenschar $g_k$ mit $g_k(x) = \frac{k}{1000} \cdot x \cdot (x - 25)^2$ für $k > 0$ ist. Die Hochpunkte der Graphen der Funktionenschar $g_k$ liegen in Abhängigkeit vom Parameter $k$ bei $H\left(\frac{25}{3} \middle| \frac{125}{54}k\right)$.

Material 2

Profillinien des alten und des neuen Deichs

2.4 Für die Profillinie des neuen Deichs wird die Funktion $g$ mit $g(x) = g_2(x)$ gewählt und die Rechnung im unten stehenden Kasten durchgeführt. Erläutern Sie mithilfe von Material 2 die Rechenschritte und deuten Sie das Ergebnis in Zeile (2) im Sachzusammenhang.

(4 BE)

(1)

$g(x) = f(x) \Leftrightarrow \dfrac{2}{1000}\cdot x\cdot (x - 25)^2 = \dfrac{3}{4}\cdot x\cdot e^{1 - \frac{1}{4}x} \Rightarrow x_1 = 0,\, x_2 \approx 3 \quad (x_3 \approx 23,\, x_4 \approx 26)$

(2)

$\Rightarrow V = 1000\cdot \displaystyle\int_{0}^{3} (f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x \approx 889$

a)

b)