Aufgabe Vorschlag B1 – Aufgabe 1 (1.6–1.8) · Abitur Hessen Mathematik LK · WTR 2022

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(t) = a \cdot t \cdot e^{-0{,}25t}$, $a \neq 0$.

Material 1

Material 2

Beim Sehnentrapezverfahren wird der Inhalt einer Fläche, die in einem Intervall vom Graphen der Funktion $g$ und der $t$-Achse eingeschlossen wird, durch den Flächeninhalt mehrerer trapezförmiger Streifen gleicher Streifenbreite angenähert. Für einen Streifen im Intervall $[a;b]$ gilt: Der Graph von $g$ wird durch eine Sehne zwischen den Punkten $P(a|g(a))$ und $Q(b|g(b))$ ersetzt. Die Flächeninhalte der jeweils entstehenden Trapeze werden berechnet und addiert.

Material 3

Die Keplersche Fassregel (nach Johannes Kepler) ist eine Methode zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Zur Berechnung wird folgende Gleichung verwendet:

$$\int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d}t \approx \frac{b - a}{6} \left( g(a) + 4 \cdot g\left(\frac{a + b}{2}\right) + g(b) \right)$$

1.6

Ermitteln Sie mithilfe eines geeigneten Formansatzes eine Stammfunktion $G$ von $g$.

[zur Kontrolle: $G(t) = -4 \cdot (t + 4) \cdot e^{1-0{,}25t}$ ist die Funktionsgleichung einer möglichen Stammfunktion von $g$.]

1.7

Zeigen Sie, dass der Inhalt der Fläche, die der Graph von $g$ im Intervall $t \ge 0$ mit der $t$-Achse einschließt, endlich ist. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

1.8

Der Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion $g$ mit der $t$-Achse im Intervall $[2; 8]$ einschließt, kann durch zwei unterschiedliche Verfahren näherungsweise bestimmt werden.

I. Sehnentrapezverfahren mit der Streifenbreite 2 (Material 2)

II. Kepler’sche Fassregel (Material 3)

Skizzieren Sie den Näherungsansatz zum Sehnentrapezverfahren (I) in Material 1.

Ermitteln Sie jeweils den Näherungswert (auf drei Nachkommastellen gerundet) und beurteilen Sie die Güte der Näherungen durch Vergleich mit dem tatsächlichen Flächeninhalt.