Aufgabe B2 - Aufgabe 2.2 - Stammfunktion und Gesamtspenden · Abitur Hessen Mathematik LK · CAS 2022

Ein hessischer Radiosender startet anlässlich einer Naturkatastrophe eine Spendenaktion. Die Zuschauer haben bei dieser Spendenaktion die Möglichkeit, über eine Spendenhotline telefonisch einen Betrag von 50 € zu spenden. Die Spendenhotline ist für einen Zeitraum von acht Stunden erreichbar.

Die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) lässt sich in guter Näherung durch eine Funktion der Funktionenschar $f_b$ aus Aufgabe 1 modellieren. Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Minuten seit Beginn der Spendenaktion:

$$f_b(t) = \frac{1}{100} \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot b \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}, \quad b \in \mathbb{R}, \ b > 0$$

Im Folgenden soll die Eingangsrate (in Anrufen pro Minute) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten seit Beginn der Spendenaktion) durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = 0{,}03 \cdot (0{,}5t^2 + 2t) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t} = f_3(t)$$

der Funktionenschar aus Aufgabe 1 modelliert werden. Der Graph der Funktion $f$ ist für $t \ge 0$ im Material 1 dargestellt.

Material 1

Graph der Näherungsfunktion $f$

2.2.1

Berechnen Sie mithilfe eines geeigneten Formansatzes eine Stammfunktion $F$ von $f$.

[zur Kontrolle: $F(t) = (-0{,}75t^2 - 78t - 3900) \cdot \mathrm{e}^{-0{,}02t}$ ist die Gleichung einer möglichen Stammfunktion $F$.]

2.2.2

Bestimmen Sie den Wert des Terms $50 \cdot \int_{0}^{480} f(t)\,\mathrm{d}t$.

Erläutern Sie die Bedeutungen des Terms und des Werts im Sachzusammenhang.

2.2.3

Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ und für jede reelle Zahl $k > 600$ gilt: $F(k) - F(0) \approx \int_{0}^{600} f(t)\,\mathrm{d}t$.

Deuten Sie diesen Sachverhalt geometrisch.