Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebezie… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2021

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|2|0)$, $D(0|2|0)$ und $S(1|1|4)$. Die Grundfläche $ABCD$ ist quadratisch.

Die Ebene mit der Gleichung $x_3 = 1$ schneidet die vier vom Punkt $S$ ausgehenden Kanten der Pyramide $ABCDS$ in den Punkten $E$, $F$, $G$ und $H$ (vgl. Abbildung). Der Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche $ABCD$ wird mit $T$ bezeichnet.

Gegeben ist die folgende Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten:

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \sigma \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \end{pmatrix} \text{ liefert } \sigma = \frac{1}{4} \text{ und damit } x_1 = 1{,}75 \text{ und } x_2 = 0{,}25.$$

Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den Ansatz der gegebenen Lösung.